Multinomialkoeffizient

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Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen und ist er definiert als

Dabei ist die Fakultät von .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Multinomialkoeffizienten sind stets ganze Zahlen.

Die Multinomialkoeffizienten lassen sich auch mit den Binomialkoeffizienten ausdrücken als

Anwendungen und Interpretationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Multinomialsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt das sogenannte Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz)

.

Aus dem Multinomialsatz folgt sofort:

Multinomialverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung

,

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

Kombinatorische Deutungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Objekte in Kisten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Multinomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, Objekte in Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau Objekte sollen, in die zweite Schachtel Objekte usw.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die 32 Karten eines Skatspiels zu je 10 Karten an die 3 Spieler sowie zu 2 Restkarten in den "Skat" zu legen?

Da es sich um Objekte handelt, die in Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je Objekte und in die vierte Schachtel Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:

Anordnung von Dingen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Multinomialkoeffizient gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von Dingen an, wobei das erste -mal (ununterscheidbar) vorkommt, das zweite -mal usw.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie viele verschiedene "Wörter" lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?

Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, 11 Dinge anzuordnen, wobei das erste ("M") -mal, das zweite ("I") -mal (ununterscheidbar) vorkommt, das dritte ("S") ebenso und das vierte ("P") -mal. Das ist also der Multinomialkoeffizient

Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf komplett verschiedene Dinge in Reihen anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

Pascalsche Simplizes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zum pascalschen Dreieck der Binominalkoeffizienten lassen sich auch die -ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu -dimensionalen pascalschen Simplizes.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]