Prinzip vom Argument

Das Prinzip vom Argument ist ein Satz aus der Funktionentheorie, der die mit Vielfachheiten gezählten Polstellen und $w$-Stellen einer meromorphen Funktion durch ein Integral ausdrückt.

Aussage

Sei $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ offen und zusammenhängend. Sei $f\colon \Omega \rightarrow {\overline {\mathbb {C} }}$ eine meromorphe Funktion, sodass $f\neq 0$. Sei $w\in \mathbb {C}$, $N=\{z\in \Omega \mid f(z)=w\}$ die Menge der $w$-Stellen und $P=\{z\in \Omega \mid f(z)=\infty \}$ die Menge der Polstellen von $f$. Seien $n\in \mathbb {N} ^{N}$ und $m\in \mathbb {N} ^{P}$ die jeweiligen Vielfachheiten. Sei $\gamma$ ein in $\Omega$ gelegener nullhomologer Zyklus, sodass $\forall z\in N\cup P:z\notin \mathrm {Bild} (\gamma )$ gilt. Dann folgt

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-w}}\mathrm {d} z=\sum _{z\in N}{\operatorname {ind} _{\gamma }(z)n(z)}-\sum _{z\in P}{\operatorname {ind} _{\gamma }(z)m(z)}$,

wobei $\operatorname {ind} _{\gamma }(z)$ die Umlaufzahl des Zyklus $\gamma$ um $z$ bezeichnet.

Bemerkungen

Das Prinzip vom Argument ist eine einfache Folge aus dem Residuensatz. Als Anwendung lässt sich beispielsweise der Satz von Rouché herleiten.