Pseudoinverse

Die Pseudoinverse einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Sie ist eine Verallgemeinerung der Inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen und wurde von E. H. Moore (1920) und Roger Penrose (1955) offenbar unabhängig voneinander beschrieben.

Üblicherweise wird die Pseudoinverse zur Beschreibung der Lösung eines linearen Gleichungssystems verwendet, insbesondere zur Beschreibung der besten Lösung bei linearen Ausgleichsproblemen. Die Pseudoinverse ist für alle Matrizen mit Einträgen aus den reellen oder komplexen Zahlen definiert und eindeutig. Sie kann mittels Singulärwertzerlegung berechnet werden.

Definition

Die Pseudoinverse einer Matrix $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ ist die eindeutig bestimmte Matrix $A^{+}\in \mathbb {C} ^{n\times m}$, die die folgenden Eigenschaften(„Moore Penrose Bedingungen“) erfüllt:

• $AA^{+}A=A$
• $A^{+}AA^{+}=A^{+}$       ($A^{+}$ ist eine schwache Inverse der muliplikativen Halbgruppe.)
• $(AA^{+})^{H}=AA^{+}$       (Die Matrix $AA^{+}$ ist hermitesch.)
• $(A^{+}A)^{H}=A^{+}A$       (Die Matrix $A^{+}A$ ist ebenfalls hermitesch.)

Dabei bezeichnet $M^{H}$ die adjungierte Matrix zu $M$. Bei Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen ist diese identisch mit der zu $M$ transponierten Matrix $M^{T}$.

Die Pseudoinverse kann auch durch einen Grenzwert definiert werden:

$A^{+}=\lim _{\delta \to 0}(A^{H}A+\delta E)^{-1}A^{H}=\lim _{\delta \to 0}A^{H}(AA^{H}+\delta E)^{-1}$

Mit $E$ wird hier die Einheitsmatrix bezeichnet. Dieser Grenzwert existiert auch, wenn $(AA^{H})^{-1}$ und $(A^{H}A)^{-1}$ nicht existieren.

Rechenregeln

• $(A^{+})^{+}=A$
• ${\overline {A}}^{+}={\overline {A^{+}}}$
• $(A^{H})^{+}=(A^{+})^{H}$
• $(\lambda A)^{+}=\lambda ^{-1}A^{+}$ für $\lambda \neq 0$

Spezialfälle

Sind die Spalten der Matrix $A$ linear unabhängig, dann ist $A^{H}A$ invertierbar. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung

$A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}$

Nimmt man die erste Grenzwertdefinition für die Pseudoinverse, so verschwindet der Summand $\delta E$. Daraus folgt, dass $A^{+}$ eine Linkssinverse zu $A$ ist.

$A^{+}A=E$

Sind die Zeilen der Matrix $A$ linear unabhängig, dann ist $AA^{H}$ invertierbar. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung

$A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1}$

Nimmt man die zweite Grenzwertdefinition für die Pseudoinverse, so verschwindet der Summand $\delta E$. Daraus folgt, dass $A^{+}$ eine Rechtssinverse zu $A$ ist.

$AA^{+}=E$

Sind sowohl Spalten als auch die Zeilen einer Matrix unabhängig, dann ist die Matrix invertierbar und die Pseudoinverse stimmt mit der Inversen überein.

Ist das Produkt $AB$ zweier Matrizen definiert und eine der beiden eine unitäre Matrix, dann gilt

$(AB)^{+}=B^{+}A^{+}$.

Man kann die Pseudoinverse auch für Skalare und Vektoren definieren indem man diese als Matrizen betrachtet. Bei Skalaren ist die Pseudoinverse von null wieder null und für alle anderen Werte $x$ ist sie $x^{-1}$. Für Vektoren gilt

$x^{+}={\begin{cases}0^{T}&{\mbox{wenn }}x=0\\{\frac {x^{H}}{x^{H}x}}&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

Diese Behauptungen lassen sich überprüfen indem man die Kriterien für die Pseudoinverse nachprüft.

Berechnung

Ist $k$ der Rang der $m\times n$-Matrix $A$, dann kann $A$ in das Produkt $A=BC$ einer $m\times k$-Matrix $B$ und einer $k\times n$-Matrix $C$ zerlegt werden. Es gilt

$A^{+}=C^{H}(CC^{H})^{-1}(B^{H}B)^{-1}B^{H}$

Hat $A$ vollen Zeilenrang, das heißt es gilt $k=m$, dann kann für $B$ die Einheitsmatrix gewählt werden und obige Formel reduziert sich zu $A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1}$ In ähnlicher Weise gilt für eine Matrix $A$ mit vollen Spaltenrang, das heißt es gilt $k=n$, die Gleichung

$A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}$

Mit der Singulärwertzerlegung existiert ein anderes Verfahren zur Berechnung der Pseudoinversen. Ist $A=U\Sigma V^{H}$ die Singulärwertzerlegung von $A$, dann gilt

$A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{H}$

Bei einer Diagonalmatrix wie $\Sigma$ entsteht die Pseudoinverse, indem man die von null verschiedenen Elemente invertiert.

$(\Sigma )_{ij}^{+}={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma _{i}}}&\mathrm {falls} \ i=j\wedge \sigma _{i}\not =0\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$

Anwendungen

Ist das Gleichungssystem $Ax=b$ nicht lösbar so lässt sich mit der Pseudoinversen die Lösung nach der Methode der kleinsten Quadrate, also die mit kleinster euklidischer Norm $\|Ax-b\|^{2}$ als ${\bar {x}}=A^{+}b$ berechnen.

Gibt es für das Gleichungssystem $Ax=b$ unendlich viele Lösungen so kann man diese über

$x=A^{+}b+(I-A^{+}A)y$ $y\in \mathbb {C}$

bestimmen. Dabei ist $x$ diejenige Lösung des Gleichungssystems die von y den kleinsten Abstand bezüglich der euklidischen Norm hat.

Literatur

• W. Mackens, H. Voß: Mathematik I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
• A.Kielbasinski, H.Schwetlick Numerische lineare Algebra, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988