Komplexe Zahl

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Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung lösbar wird.

Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl mit der Eigenschaft . Diese Zahl wird als imaginäre Einheit bezeichnet. In der Elektrotechnik wird stattdessen der Buchstabe verwendet, um einer Verwechslung mit einer (durch oder bezeichneten) von der Zeit abhängigen Stromstärke vorzubeugen.

Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von Carl Friedrich Gauß (Theoria residuorum biquadraticorum, 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano (Ars magna, Nürnberg 1545) und Rafael Bombelli (L'Algebra, Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.[1] Die Einführung der imaginären Einheit als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben.

Komplexe Zahlen können in der Form dargestellt werden, wobei und reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei stets durch ersetzt werden kann und umgekehrt. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol (Unicode U+2102: ℂ, siehe Buchstabe mit Doppelstrich) verwendet.

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort auch beliebig oft differenzierbar – anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die komplexen Zahlen lassen sich als Zahlbereich im Sinne einer Menge von Zahlen, für die die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division erklärt sind, mit den folgenden Eigenschaften definieren:

  • Die reellen Zahlen sind in den komplexen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist.
  • Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
  • Das Distributivgesetz gilt.
  • Für jede komplexe Zahl existiert eine komplexe Zahl , sodass .
  • Für jede von null verschiedene komplexe Zahl existiert eine komplexe Zahl  , sodass .
  • Es existiert eine komplexe Zahl mit der Eigenschaft .
  • Unter allen Zahlbereichen mit den zuvor genannten Eigenschaften sind die komplexen Zahlen minimal.

Die letzte Forderung ist gleichbedeutend damit, dass sich jede komplexe Zahl in der Form (bzw. in verkürzter Notation oder auch ) mit reellen Zahlen und darstellen lässt. Die imaginäre Einheit ist dabei keine reelle Zahl. Die Existenz eines solchen Zahlbereichs wird im Abschnitt zur Konstruktion der komplexen Zahlen nachgewiesen.

Unter Verwendung der Begriffe Körper und Isomorphie lässt sich das so formulieren: Es gibt minimale Körper, die den Körper der reellen Zahlen und ein Element mit der Eigenschaft enthalten. In einem solchen Körper hat jedes Element eine und nur eine Darstellung als mit reellen Die komplexen Zahlen sind isomorph zu jedem solchen Körper.

Die Koeffizienten werden als Real- bzw. Imaginärteil von bezeichnet. Dafür haben sich zwei Notationen etabliert:

  • und
  • und

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Notation in der Form wird auch als (nach René Descartes benannte) kartesische oder algebraische Form bezeichnet. Die Bezeichnung kartesisch erklärt sich aus der Darstellung in der komplexen bzw. gaußschen Zahlenebene (siehe weiter unten). Es findet sich auch die Darstellung ;[2] in der Norm DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe kommt sie allerdings nicht vor.

In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechslungen mit der imaginären Einheit i führen. Daher kann in diesem Bereich gemäß DIN 1302 der Buchstabe j verwendet werden.

In der Physik wird zwischen für die Stromstärke bei Wechselstrom und für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechslungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewandt; handschriftlich ist diese Feinheit allerdings nicht zu halten. Siehe auch: Komplexe Wechselstromrechnung

Komplexe Zahlen können gemäß DIN 1304-1 und DIN 5483-3 unterstrichen dargestellt werden, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden.

Rechnen in der algebraischen Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Addition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht

Für die Addition zweier komplexer Zahlen und gilt

Subtraktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen und (siehe Addition) gilt

Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen und (siehe Addition) gilt

Division[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Division der komplexen Zahl durch die komplexe Zahl (siehe Addition) mit erweitert man den Bruch mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl . Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von ):

Rechenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Addition:

Subtraktion:

Multiplikation:

Division:

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Körper der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von , andererseits ein zweidimensionaler -Vektorraum. Der Isomorphismus wird auch als natürliche Identifikation bezeichnet.
  • Die Körpererweiterung ist vom Grad ; genauer ist isomorph zum Faktorring , wobei das Minimalpolynom von über ist. Ferner bildet bereits den algebraischen Abschluss von .
  • Als -Vektorraum besitzt die Basis . Daneben ist wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler -Vektorraum mit Basis .
  • und sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung . In diesem Sinne kann (aber auch ) als „Wurzel aus “ aufgefasst werden.
  • ist im Gegensatz zu kein geordneter Körper, d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf . Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in ) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

Betrag und Metrik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Betrag einer komplexen Zahl ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene und lässt sich z. B. zu

aus ihrem Realteil und Imaginärteil berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.

Beispiel:

Metrik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die durch die Abstandsfunktion induzierte Metrik versieht den komplexen Vektorraum mit seiner Standardtopologie. Sie stimmt mit der Produkttopologie von überein, wie die Einschränkung von auf mit der Standardmetrik auf übereinstimmt.

Beide Räume wie sind vollständig unter diesen Metriken. Auf beiden Räumen lässt sich der topologische Begriff der Stetigkeit zu analytischen Begriffen wie Differentiation und Integration erweitern.

Komplexe Zahlenebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)

Während sich die Menge der reellen Zahlen durch Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von als zweidimensionalem reellem Vektorraum. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d. h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl mit besitzt dann die horizontale Koordinate und die vertikale Koordinate , wird also mit dem Zahlenpaar identifiziert.

Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird.

Polarform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Farbdarstellung der komplexen Zahlenebene wird häufig zur Veranschaulichung komplexer Funktionen angewendet. Die Farbe kodiert das Argument und die Helligkeit gibt den Betrag an.

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten und , kann man die komplexe Zahl auch in der folgenden, auf der eulerschen Relation beruhenden sogenannten Polarform

darstellen, die sich aus und ergibt. Die Darstellung mit Hilfe der komplexen e-Funktion heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks trigonometrische Darstellung (der Polarform). Aufgrund der eulerschen Relation sind beide Darstellungen gleichwertig. Des Weiteren gibt es für sie, namentlich in der Praxis, die verkürzten Schreibweisen

in denen für die Summe steht und die Darstellung mit dem Winkeloperator als Versordarstellung bezeichnet wird.

In der komplexen Zahlenebene entspricht dabei der euklidischen Vektorlänge (d. h. dem Abstand zum Ursprung 0) und dem mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel der Zahl . Üblicherweise jedoch nennt man hier den Betrag von (oder auch sein Modul) (Schreibweise ) und den Winkel das Argument (oder auch die Phase) von (Schreibweise ).

Da und dabei derselben Zahl zugeordnet werden können, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man meist auf das Intervall , also ein, um anschließend statt vom Argument selbst von seinem Hauptwert für zu sprechen. Der Zahl indes ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen, und zum Zweck einer eindeutigen Darstellung kann man es in diesem Fall tatsächlich auf 0 festlegen.

Das Argument von ist auch der Imaginärteil des komplexen natürlichen Logarithmus

Mit der Wahl eines auf ganz definierten Zweiges des Logarithmus ist also auch eine Argumentfunktion bestimmt (und umgekehrt).

Alle Werte bilden den Einheitskreis der komplexen Zahlen mit dem Betrag , diese Zahlen werden auch unimodular genannt und bilden die Kreisgruppe.

Dass die Multiplikation von komplexen Zahlen (außer der Null) Drehstreckungen entspricht, lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken: Die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen ohne die Null lässt sich als direktes Produkt der Gruppe der Drehungen, der Kreisgruppe, und der Streckungen um einen Faktor ungleich Null, der multiplikativen Gruppe auffassen. Erstere Gruppe lässt sich durch das Argument parametrisieren, zweitere entspricht gerade den Beträgen.

Komplexe Konjugation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Konjugation (Mathematik)
Eine komplexe Zahl und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl

Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils einer komplexen Zahl so erhält man die zu konjugiert komplexe Zahl (manchmal auch geschrieben).

Die Konjugation ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h., für alle gilt

In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.

Das Produkt aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten ergibt das Quadrat ihres Betrages:

Die komplexen Zahlen bilden damit ein triviales Beispiel einer C*-Algebra.

Die Summe aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten ergibt das 2-fache ihres Realteils:

Die Differenz aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten ergibt das 2i-fache ihres Imaginärteils:

Umrechnungsformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von der algebraischen Form in die Polarform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für in algebraischer Form ist

Für kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für kann das Argument im Intervall mit Hilfe des Arkuskosinus bzw. des Arkustangens durch

ermittelt werden. Etwas umständlicher (da der Fall gesondert behandelt werden muss und der Tangens im Intervall seinen Wertebereich zweimal durchläuft) ist die Berechnungsvariante

für alle . Viele Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen stellen aber eine Variante der Arkustangensfunktion zur Verfügung (häufig mit dem Namen atan2 bezeichnet), die beide Werte übergeben bekommt und das Ergebnis je nach Vorzeichen von und dem passenden Quadranten zuordnet.

Die Berechnung des Winkels im Intervall kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall berechnet wird und dann um vergrößert wird, falls er negativ ist:

(siehe Polarkoordinaten).

Von der Polarform in die algebraische Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie weiter oben stellt a den Realteil und b den Imaginärteil jener komplexen Zahl dar.

Arithmetische Operationen in der Polarform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:

Bei der Multiplikation werden die Beträge und miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen bzw. addiert. Bei der Division wird der Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:

Trigonometrische Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.
Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.
  • wobei
und
mit der atan2-Funktion gesetzt ist.

Exponentialform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • mit und wie oben.

Rechenoperationen 3. Stufe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren, Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren.

Potenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Natürliche Exponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für natürliche Zahlen berechnet sich die -te Potenz in der polaren Form zu

oder für die algebraische Form mit Hilfe des binomischen Satzes zu

Beliebige komplexe Exponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Definition einer Potenz mit komplexer Basis und komplexem Exponenten lautet

wobei für den Hauptwert des komplexen Logarithmus steht (siehe unten), damit liefert die Formel ebenfalls einen Hauptwert. Im Fall oder allerdings stimmen alle in Frage kommenden Ergebnisse mit diesem Hauptwert überein und die Funktion wird eindeutig.

Wurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Logarithmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl w heißt Logarithmus der komplexen Zahl z, wenn

Mit w ist auch jede Zahl mit beliebigem ein Logarithmus von z. Man arbeitet daher mit Hauptwerten, d. h. Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.

Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl

mit und ist

Anders formuliert: Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl z ist

wobei der Hauptwert des Arguments von z ist.

Die endlichen Untergruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen Einheitengruppe sind Einheitswurzeln. Unter allen Ordnungen von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa . Da kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe zyklisch ist und genau aus den Elementen

besteht. Alle Elemente liegen auf dem Einheitskreis.

Die Vereinigung aller endlichen Untergruppen ist eine Gruppe, die zur Torsionsgruppe isomorph ist. Sie liegt dicht in ihrer Vervollständigung, der schon erwähnten Kreisgruppe, die auch als 1-Sphäre aufgefasst werden kann und zu isomorph ist.

Pragmatische Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen:

  • Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt.
  • Die Multiplikation komplexer Zahlen kann je nach Vorgabe vorteilhaft in algebraischer Form oder in Exponentialform (Multiplikation der Beträge und Addition der Argumente (Winkel)) durchgeführt werden.
  • Bei der Division komplexer Zahlen werden in Exponentialform ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert, oder in algebraischer Form der Quotient mit dem konjugierten Nenner erweitert.
  • Beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag potenziert und ihr Argument (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert; die Benutzung der algebraischen Form (mit Newtons Binomialsatz) ist in den meisten Fällen umständlicher (insbesondere für höhere Potenzen).
  • Beim Radizieren (Wurzelziehen) einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag radiziert und ihr Argument (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer -ten Wurzel entstehen Lösungen, die im Winkel von um den Ursprung der gaußschen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik). Eine Quadratwurzel kann auch recht einfach in kartesischer Form berechnet werden.
  • Beim Multiplizieren in algebraischer Form lässt sich durch folgendes Verfahren eine der vier Multiplikation einsparen. Allerdings sind drei zusätzliche Additionen bzw. Subtraktionen notwendig und die Berechnung lässt sich schlechter parallelisieren.

Konstruktion der komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt wird nachgewiesen, dass tatsächlich ein Körper der komplexen Zahlen existiert, der den in der obigen Definition geforderten Eigenschaften genügt. Es sind dabei verschiedene Konstruktionen möglich, die jedoch bis auf Isomorphie zum selben Körper führen.

Paare reeller Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konstruktion nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit : Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum der geordneten reellen Zahlenpaare wird neben der Addition

(das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch

definiert.

Nach dieser Festlegung schreibt man , und wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen.

Erste Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Abbildung ist eine Körpereinbettung von in , aufgrund derer wir die reelle Zahl mit der komplexen Zahl identifizieren.

Bezüglich der Addition ist:

  • die Zahl das neutrale Element (das Nullelement) in und
  • die Zahl das inverse Element in .

Bezüglich der Multiplikation ist:

  • die Zahl das neutrale Element (das Einselement) von und
  • das Inverse (Reziproke) zu ist .

Bezug zur Darstellung in der Form a + bi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch wird die imaginäre Einheit festgelegt; für diese gilt , was nach obiger Einbettung gleich entspricht.

Jede komplexe Zahl besitzt die eindeutige Darstellung der Form

mit ; dies ist die übliche Schreibweise für die komplexen Zahlen.

Polynome: Adjunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere Konstruktion der komplexen Zahlen ist der Faktorring

des Polynomringes in einer Unbestimmten über den reellen Zahlen. Die Zahl entspricht dabei dem Bild der Unbestimmten , die reellen Zahlen werden mit den konstanten Polynomen identifiziert.

Dieses Konstruktionsprinzip ist auch in anderem Kontext anwendbar, man spricht von Adjunktion.

Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der -Matrizen der Form

mit

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit bzw. die imaginäre Einheit durch die Einheitsmatrix bzw. die Matrix dargestellt. Daher gilt:

Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen -Matrizen.

Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen

Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern und nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum . Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z. B. schon in der um 820 n. Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluss, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar sei, blieb die mathematische Forschung nicht stehen.

In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501–1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung

keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, indem er in die Lösung

der allgemeinen normierten quadratischen Gleichung

für und die Werte −10 bzw. 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre, dem sich ergebenden Ausdruck

einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach denselben Regeln rechnen dürfte wie mit einer reellen Zahl, so würden die Ausdrücke

in der Tat je eine Lösung darstellen.

Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl und einer positiven reellen Zahl zusammengesetzten Zahlen

oder

hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Bezeichnung imaginäre Zahl eingebürgert.

Im Gegensatz dazu wurden als gewöhnliche Zahlen die reellen Zahlen bezeichnet. Eine solche Gegenüberstellung der zwei Begriffe findet sich in der 1637 erschienenen La Géométrie von Descartes und taucht dort wohl zum ersten Mal auf.

Heute bezeichnet man nur noch den Ausdruck, der durch die Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet wird, als imaginäre Zahl und die von beiden Arten von Zahlen gebildete Menge von Zahlen als komplexe Zahlen. Man kann daher sagen, dass Cardano zum ersten Mal im heutigen Sinne mit komplexen Zahlen gerechnet hat und damit eine Reihe von Betrachtungen angestellt hat.

Da das Rechnen mit diesen als „sinnlos“ angesehenen Zahlen zunächst als bloßes Spiel erschien, war man umso überraschter, dass dieses „Spiel“ sehr häufig wertvolle Ergebnisse lieferte oder schon bekannten Ergebnissen eine befriedigendere Form zu geben erlaubte. So kam Leonhard Euler zum Beispiel in seiner Introductio in analysin infinitorum zu einigen bemerkenswerten Gleichungen, die nur reelle Zahlen enthielten und sich ausnahmslos als richtig erwiesen, die aber auf anderem Wege nicht so einfach gewonnen werden konnten.

So kam es, dass man diese Zahlen nicht als widersinnig verwarf, sondern sich immer mehr mit ihnen beschäftigte. Trotzdem umgab dieses Gebiet der Mathematik noch immer etwas Geheimnisvolles, Rätselhaftes und Unbefriedigendes. Erst durch die Abhandlung Essai sur la représentation analytique de la direction aus dem Jahre 1797 des norwegisch-dänischen Landmessers Caspar Wessel (1745–1818) wurde die Aufklärung über diese Zahlen angebahnt.[3] Diese Arbeit, die er bei der dänischen Akademie einreichte, fand anfangs keine Beachtung. Ähnlich erging es Arbeiten anderer Mathematiker, sodass diese Betrachtungen noch mehrfach angestellt werden mussten.

Als erster definierte Augustin-Louis Cauchy 1821 in seinem Lehrbuch Cours d’analyse eine Funktion einer komplexen Variablen in die komplexe Zahlenebene und bewies viele grundlegende Sätze der Funktionentheorie.

Allgemeine Beachtung fanden sie erst, nachdem auch Carl Friedrich Gauß im Jahre 1831 in einem Artikel in den Göttingschen gelehrten Anzeigen dieselben Auffassungen entwickelt hatte, offensichtlich ohne Wissen von irgendwelchen Vorgängern. Ausgehend von philosophischen Ideen Immanuel Kants fand William Rowan Hamilton 1833 eine logisch einwandfreie Begründung der komplexen Zahlen. Er deutete die komplexe Zahl als Zahlenpaar und definierte Addition beziehungsweise die Multiplikation durch:[4]

Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der „imaginären“ Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte zu einer schiefen, aber beibehaltenen Bezeichnung entwickelt.

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Komplexe Zahlen in der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems als Element eines (projektiven) Hilbertraums über den komplexen Zahlen aufgefasst. Komplexe Zahlen finden Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödingergleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung geeignete Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Dadurch werden in der Zwischenrechnung harmonische Schwingungen (reell) zu Kreisbewegungen in der komplexen Ebene ergänzt, die mehr Symmetrie aufweisen und deswegen einfacher zu behandeln sind.

In der Optik werden die brechenden und absorbierenden Effekte einer Substanz in einer komplexen, Wellenlängen-abhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) oder dem komplexen Brechungsindex zusammengefasst, die wiederum auf die elektrische Suszeptibilität zurückgeführt wird.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durch das Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung – das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Joukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im Allgemeinen nicht aus.

Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Elektrotechnik besitzt die Darstellung elektrischer Größen mit Hilfe komplexer Zahlen weite Verbreitung. Sie wird bei der Berechnung von zeitlich sinusförmig veränderlichen Größen wie elektrischen und magnetischen Feldern verwendet. Bei der Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung als komplexe Größe und entsprechenden Darstellungen für Widerstände, Kondensatoren und Spulen vereinfachen sich die Berechnungen des elektrischen Stromes, der Wirk- und der Blindleistung in einer Schaltung. Die durch Differentialquotienten oder Integrale gegebene Verkopplung geht über in eine Verkopplung durch trigonometrische Funktionen; die Berechnung der Zusammenhänge lässt sich damit wesentlich erleichtern. Auch das Zusammenwirken mehrerer verschiedener sinusförmiger Spannungen und Ströme, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten ihre Nulldurchgänge haben können, lässt sich in komplexer Rechnung leicht darstellen. Genaueres über dieses Thema steht im Artikel über die komplexe Wechselstromrechnung.

In den letzten Jahren hat die digitale Signalverarbeitung außerordentlich an Bedeutung gewonnen, deren Fundament die Rechnung mit komplexen Zahlen bildet.

Körpertheorie und algebraische Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Körper der komplexen Zahlen ist der algebraische Abschluss des Körpers der reellen Zahlen.

Je zwei algebraisch abgeschlossene Körper mit derselben Charakteristik und demselben Transzendenzgrad über ihrem Primkörper (der durch die Charakteristik festgelegt ist) sind (ringtheoretisch) isomorph.[5] Bei einem Körper von Charakteristik 0 mit überabzählbarem Transzendenzgrad ist dieser gleich der Kardinalität des Körpers. Körpertheoretisch bilden die komplexen Zahlen also den einzigen algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 und der Kardinalität des Kontinuums. Eine Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen ist mithilfe dieser Feststellung auch rein algebraisch etwa als Erweiterung des algebraischen Abschlusses der rationalen Zahlen um Kontinuum viele transzendente Elemente. Eine weitere Konstruktion liefert ein Ultraprodukt: Hierzu bilde man zu jedem endlichen Körper seinen algebraischen Abschluss und bilde von ihnen das Ultraprodukt bezüglich eines beliebigen freien Ultrafilters. Aus dem Satz von Łoś folgt, dass dieses Ultraprodukt ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0 ist, die Kardinalität des Kontinuums folgt aus mengentheoretischen Überlegungen.[6]

Unter dem Schlagwort Lefschetz-Prinzip werden verschiedene Sätze zusammengefasst, die es erlauben, Ergebnisse der algebraischen Geometrie, die über den komplexen Zahlen bewiesen werden, auf andere algebraisch abgeschlossene Körper mit Charakteristik 0 zu übertragen (was maßgeblich auf der Vollständigkeit der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 aufbaut). Die Betrachtung des komplexen Falls bietet den Vorteil, dass dort topologische und analytische Methoden eingesetzt werden können, um algebraische Ergebnisse zu erhalten.[7] Obige Ultraproduktkonstruktion erlaubt die Übertragung von Ergebnissen im Fall einer Charakteristik ungleich 0 auf die komplexen Zahlen.[8]

Spektraltheorie und Funktionalanalysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Viele Ergebnisse der Spektraltheorie gelten für komplexe Vektorräume in größerem Umfang als für reelle. So treten z. B. komplexe Zahlen als Eigenwerte reeller Matrizen auf (dann jeweils zusammen mit dem konjugiert-komplexen Eigenwert). Das erklärt sich dadurch, dass das charakteristische Polynom der Matrix aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit von über den komplexen Zahlen stets in Linearfaktoren zerfällt. Dagegen gibt es reelle Matrizen ohne reelle Eigenwerte, während das Spektrum eines beliebigen beschränkten Operators auf einem komplexen (mindestens eindimensionalen) Banachraum nie leer ist.[9] In der Spektraltheorie auf Hilberträumen lassen sich Sätze, die im reellen Fall nur für selbstadjungierte Operatoren gelten, im komplexen Fall oft auf normale Operatoren übertragen.

Auch in weiteren Teilen der Funktionalanalysis spielen die komplexen Zahlen eine besondere Rolle. So wird etwa die Theorie der C*-Algebren meist im Komplexen betrieben, die harmonische Analyse befasst sich mit Darstellungen von Gruppen auf komplexen Hilberträumen.

Funktionentheorie und komplexe Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Studium differenzierbarer Funktionen auf Teilmengen der komplexen Zahlen ist Gegenstand der Funktionentheorie. Sie ist in vieler Hinsicht starrer als die reelle Analysis und lässt weniger Pathologien zu. Beispiele sind die Aussage, dass jede in einem Gebiet differenzierbare Funktion bereits beliebig oft differenzierbar ist, oder der Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Die Funktionentheorie ermöglicht oft auch Rückschlüsse auf rein reelle Aussagen, beispielsweise lassen sich manche Integrale mit dem Residuensatz berechnen. Ein wichtiges Einsatzgebiet dieser Methoden ist die analytische Zahlentheorie, die Aussagen über ganze Zahlen auf Aussagen über komplexe Funktionen zurückführt, häufig in der Form von Dirichletreihen. Ein prominentes Beispiel ist die Verbindung zwischen Primzahlsatz und riemannscher ζ-Funktion. In diesem Zusammenhang spielt die riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle.

Die oben erwähnte Starrheit holomorpher Funktionen tritt noch stärker bei globalen Fragen in Erscheinung, d. h. beim Studium komplexer Mannigfaltigkeiten. So gibt es auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit keine nichtkonstanten globalen holomorphen Funktionen; Aussagen wie der Einbettungssatz von Whitney sind im Komplexen also falsch. Diese so genannte „analytische Geometrie“ (nicht mit der klassischen analytischen Geometrie von René Descartes zu verwechseln!) ist auch eng mit der algebraischen Geometrie verknüpft, viele Ergebnisse lassen sich übertragen. Die komplexen Zahlen sind auch in einem geeigneten Sinne ausreichend groß, um die Komplexität algebraischer Varietäten über beliebigen Körpern der Charakteristik 0 zu erfassen (Lefschetz-Prinzip).

Verwandte Themen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Komplexe Zahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wikibooks: Imaginäre und komplexe Zahlen – eine kompakte Einführung
 Wikibooks: Komplexe Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Helmuth Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs. Bibliographisches Institut, Mannheim 1970, S. 57–67.
  2. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1: Mit Lösungshinweisen zu 420 Übungsaufgaben. 4. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-31764-7.
  3. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 306–307.
  4. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 310.
  5. Daher kommt auch, dass es überabzählbar viele „wilde“ Automorphismen von gibt; siehe Paul B. Yale: Automorphisms of the Complex Numbers. (PDF; 217 kB).
  6. H. Schoutens, The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Springer 2010, S. 16.
  7. Gerhard Frey, Hans-Georg Rück: The Strong Lefschetz Principle in Algebraic Geometry. In: manuscripta mathematica. Bd. 55, 1986, S. 385 (online).
  8. Frey, Rück, S. 389.
  9. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7. Auflage. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-21016-7, S. 261.