Diagonalmatrix

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Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt. Stimmen dabei sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.[1] Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix .

Betrachtet man quadratische Matrizen und damit insbesondere Diagonalmatrixen als lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum, so lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen und die Eigenwerte der Abbildung können aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine quadratische Matrix über einem Körper

,

deren Elemente mit alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Häufig schreibt man dafür

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahlenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die -Matrix

ist eine Diagonalmatrix.

Besondere Diagonalmatrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert haben.
  • Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert haben.

Eigenschaften von Diagonalmatrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen -Matrizen.
  • Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:
  • Die Adjunkte einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder eine Diagonalmatrix.

Rechenoperationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation, Transposition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation gestalten sich bei Diagonalmatrizen sehr einfach:

Multiplikation einer Matrix von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von mit den Diagonaleinträgen.

Für jede Diagonalmatrix gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: .[2]

Berechnung der Inversen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

Diagonalisierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine quadratische -dimensionale Matrix heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix , so dass gilt bzw. .

Äquivalent dazu: Eine -dimensionale Matrix mit Einträgen aus einem Körper ist genau dann diagonalisierbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. Das Charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren: mit
  2. Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert .

Für eine lineare Abbildung (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis existiert, bei der die Darstellungsmatrix eine Diagonalmatrix ist.

Seien und mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von , nämlich , Eigenwerte von zu den Einheitsvektoren sind. Weiterhin ist . Die sind also auch Eigenvektoren von , und zwar jeweils zum Eigenwert .

Da invertierbar sein soll, ist zudem linear unabhängig.

Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix linear unabhängige Eigenvektoren hat, der Raum, auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von besitzt. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus gefundenen Eigenvektoren von mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete und ganz direkt konstruieren.

Das Problem reduziert sich damit auf das Auffinden von ausreichend vielen linear unabhängigen Eigenvektoren von .

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Diagonalisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Matrix diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix , für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

  1. Es werden die Eigenwerte der Matrix bestimmt.
  2. Es werden die Eigenräume zu allen Eigenwerten berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:
  3. Nun ist die Diagonalform der Matrix bezüglich der Basis :

Simultane Diagonalisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gelegentlich will man auch zwei Matrizen mit derselben Transformation diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt und und da und Diagonalmatrizen sind,

.

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Diagonalmatrix – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.
  2. Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1812-0, S. 363.