Quasi-Diedergruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik sind Quasi-Diedergruppen gewisse endliche nicht-abelsche Gruppen der Ordnung , wobei ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Quasi-Diedergruppe ist eine Gruppe, die von zwei Elementen und der Form

mit erzeugt wird.

Anzahl Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus folgt wegen , dass . Also kann jedes endliche Produkt der Erzeuger und der Quasi-Diedergruppe durch Anwendung dieser Regel auf die Form gebracht werden. Wegen folgt:

Die Quasi-Diedergruppe hat 2n Elemente:

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kleinste Quasi-Diedergruppe hat die Ordnung und wird von zwei Elementen und erzeugt, die die Gleichungen und erfüllen. Da , folgt aus der letzten Gleichung nach Rechtsmultiplikation mit , dass . Also kann man in einer beliebigen Folge von 's und 's jedes vor einem stehende hinter das bringen, wenn man dieses durch ersetzt. Daraus folgt dann, dass alle Elemente dieser Gruppe von der Form sind. Ferner lassen sich mit obigen Gleichungen sämtliche Multiplikationen in der Gruppe bestimmen. Als Beispiel betrachten wir die beiden Produkte aus und :

    (denn )
    (zweimal nach rechts bringen und verwenden)

Insgesamt erhalten wir die folgende Verknüpfungstafel

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 134, ISSN 0072-7830). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1967, S. 90–93.