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Liste kleiner Gruppen

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Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

Glossar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet:

Die Notation G\times H wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen G und H zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung n < 60 sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen \Z_n, mit n aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung 16 ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und \Z_8 \times \Z_2 haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Es ist zu beachten, dass 3 \cdot  \Z_2 bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ \Z_2 gibt (nicht die Nebenklasse von \Z_2).

Zu jeder Ordnung wird zunächst die zyklische Gruppe angegeben, dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen:

Liste aller Gruppen bis Ordnung 20[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
1 \Z_1\cong S_1\cong A_2   (triviale Gruppe) - abelsch, zyklisch
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2 \Z_2\cong S_2\cong D_1   (Gruppe Z2) - abelsch, einfach, zyklisch, kleinste nicht triviale Gruppe
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3 \Z_3\cong A_3 - abelsch, einfach, zyklisch
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4 \Z_4 \Z_2 abelsch, zyklisch
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V_4\cong\Z_2^2\cong D_2   (Kleinsche Vierergruppe) 3\cdot\Z_2 abelsch, die kleinste nicht zyklische Gruppe
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5 \Z_5 - abelsch, einfach, zyklisch
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6 \Z_6\cong\Z_2\times\Z_3 \Z_3, \Z_2 abelsch, zyklisch
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S_3\cong D_3   (Symmetrische Gruppe) \Z_3, 3 \cdot \Z_2 kleinste nichtabelsche Gruppe
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7 \Z_7 - abelsch, einfach, zyklisch
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8 \Z_8 \Z_4, \Z_2 abelsch, zyklisch
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\Z_2\times\Z_4 2\cdot\Z_4, 3\cdot\Z_2, D_2 abelsch
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\Z_2^3\cong D_2\times\Z_2 7 \cdot \Z_2, 7\cdot D_2 abelsch
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D_4 \Z_4, 2\cdot D_2, 5\cdot\Z_2 nichtabelsch
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Q_8\cong \mathrm{Dic}_2   (Quaternionengruppe) 3\cdot\Z_4, \Z_2 nichtabelsch; die kleinste Hamiltonsche Gruppe
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9 \Z_9 \Z_3 abelsch, zyklisch
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\Z_3^2 4\cdot\Z_3 abelsch
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10 \Z_{10}\cong\Z_2\times\Z_5 \Z_5,  \Z_2 abelsch, zyklisch
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D_5 \Z_5, 5\cdot\Z_2 nichtabelsch
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11 \Z_{11} - abelsch, einfach, zyklisch
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12 \Z_{12}\cong\Z_4\times\Z_3 \Z_6, \Z_4, \Z_3, \Z_2 abelsch, zyklisch
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\Z_2\times\Z_6\cong\Z_2^2\times\Z_3\cong D_2\times\Z_3 3 \cdot \Z_6, \Z_3, D_2, 3 \cdot \Z_2 abelsch
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D_6\cong D_3\times\Z_2 \Z_6, 2 \cdot D_3, 3 \cdot  D_2, \Z_3, 7 \cdot \Z_2 nichtabelsch
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A_4  (Gruppe A4) D_2, 4\cdot\Z_3, 3\cdot\Z_2 nichtabelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
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\mathrm{Dic}_3 (hier Verknüpfungstafel) \Z_6, 3\cdot\Z_4, \Z_3, \Z_2 nichtabelsch
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13 \Z_{13} - abelsch, einfach, zyklisch
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14 \Z_{14}\cong\Z_2\times\Z_7 \Z_7,  \Z_2 abelsch, zyklisch
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D_7 \Z_7,  7\cdot\Z_2 nichtabelsch
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15 \Z_{15}\cong\Z_3\times\Z_5 \Z_5,  \Z_3 abelsch, zyklisch (siehe "Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.")
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16 \Z_{16} \Z_8, \Z_4, \Z_2 abelsch, zyklisch
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\Z_2^4 15 \cdot \Z_2, 35 \cdot D_2, 15 \cdot \Z_2^3 abelsch
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\Z_4\times\Z_2^2 7 \cdot \Z_2, 4 \cdot \Z_4, 7 \cdot D_2, \Z_2^3, 6 \cdot \Z_4 \times \Z_2 abelsch
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\Z_8\times\Z_2 3 \cdot \Z_2, 2 \cdot \Z_4, D_2, 2 \cdot \Z_8, \Z_4 \times \Z_2 abelsch
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\Z_4^2 3 \cdot \Z_2, 6 \cdot \Z_4,  D_2, 3 \cdot \Z_4 \times \Z_2 abelsch
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D_8 \Z_8, 2 \cdot D_4, 4 \cdot D_2, \Z_4, 9 \cdot \Z_2 nichtabelsch
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D_4\times\Z_2 4 \cdot D_4, \Z_4 \times \Z_2, 2 \cdot  \Z_2^3, 13 \cdot \Z_2^2, 2 \cdot \Z_4, 11 \cdot \Z_2 nichtabelsch
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Q_{16}\cong \mathrm{Dic_4} \Z_8, 2 \cdot Q_8, 5 \cdot \Z_4, \Z_2 nichtabelsch
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Q_8\times\Z_2 3 \cdot \Z_2 \times \Z_4, 4 \cdot Q_8, 6 \cdot \Z_4, \Z_2 \times \Z_2, 3 \cdot \Z_2 nichtabelsch, Hamiltonsche Gruppe
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Quasi-Diedergruppe \Z_8, Q_8, D_4, 3\cdot\Z_4, 2\cdot\Z_2\times\Z_2, 5\cdot\Z_2 nichtabelsch
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Nichtabelsche nicht-hamiltonsche modulare Gruppe 2\cdot\Z_8, \Z_4\times\Z_2, 2\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 3\cdot\Z_2 nichtabelsch
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Semidirektes Produkt \Z_4 \rtimes \Z_4 (siehe hier) 3\cdot\Z_2\times\Z_4, 6\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 3\cdot\Z_2 nichtabelsch
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Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. 3\cdot\Z_2\times\Z_4, 3\cdot D_4, Q_8, 4\cdot Z_4, 3\cdot\Z_2\times\Z_2, 7\cdot\Z_2 nichtabelsch
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G_{4,4} = V_4 \rtimes \Z_4 2\cdot\Z_2\times\Z_4, \Z_2\times\Z_2\times\Z_2, 4\cdot\Z_4, 7\cdot\Z_2\times\Z_2, 7\cdot\Z_2 nichtabelsch
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17 \Z_{17} - abelsch, einfach, zyklisch
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18 \Z_{18} \cong \Z_9\times \Z_2 \Z_9, \Z_6, \Z_3, \Z_2 abelsch, zyklisch
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\Z_6 \times \Z_3 \Z_6, \Z_3, \Z_2 abelsch
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D_9 nichtabelsch
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S_3 \times \Z_3 nichtabelsch
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(\Z_3 \times \Z_3)\rtimes_\alpha \Z_2 mit \alpha(1)=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} nichtabelsch
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19 \Z_{19} - abelsch, einfach, zyklisch
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20 \Z_{20} \cong \Z_5 \times \Z_4 \Z_{10}, \Z_5, \Z_4, \Z_2 abelsch, zyklisch
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\Z_{10}\times \Z_2 \cong \Z_5\times \Z_2 \times \Z_2 \Z_5, \Z_2 abelsch
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Q_{20} \cong \mathrm{Dic}_5 nichtabelsch
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\Z_5 \rtimes \Z_4 \cong AGL1(5) nichtabelsch
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D_{10} \cong D_5\times \Z_2 \Z_{10}, D_5, \Z_5, 5\cdot V_4, 6\cdot \Z_2 nichtabelsch
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Einfache Struktursätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Aussagen sind sehr elementare Struktursätze, deren Auswirkung sich deutlich in obiger Liste widerspiegelt.

  • Ist p eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung p isomorph zur zyklischen Gruppe \Z_p.[2]
  • Ist p eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung p^2 abelsch[3], genauer isomorph zur zyklischen Gruppe \Z_{p^2} oder zum direkten Produkt \Z_p\times \Z_p.[4]
  • Ist p eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung 2p isomorph zur zyklischen Gruppe Z_{2p} oder zur Diedergruppe D_p.[5]
  • Sind p und q Primzahlen mit q<p und ist q kein Teiler von p-1, dann ist jede Gruppe der Ordnung pq isomorph zur zyklischen Gruppe Z_{pq}.[6]

„Small groups library“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programm-Bibliothek Small Groups library, welche eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

  • alle der Ordnung bis 2000, außer den 49.487.365.422 Gruppen der Ordnung 1024 (bleiben 423.164.062 Gruppen);
  • alle der Ordnung 55 und 74 (92 Gruppen);
  • alle der Ordnung qn×p mit qn teilt 28, 36, 55 oder 74 und p ist eine beliebige von q verschiedene Primzahl;
  • alle Gruppen, deren Ordnung n in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O'Brien erstellt.[7]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
  2. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kap. I, §2, Satz 2.10
  3. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kap. I, §6, Satz 6.10
  4. K. Meyberg: Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.2.12
  5. K. Meyberg: Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.2.11 e)
  6. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kap. I, §8, Satz 8.10
  7. http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/small/

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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