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Liste kleiner Gruppen

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Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

Glossar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet:

  • ist die zyklische Gruppe der Ordnung n (die auch als oder geschrieben wird).
  • ist die Diedergruppe der Ordnung 2n
  • ist die symmetrische Gruppe vom Grad n, mit n! Permutationen von n Elementen.
  • ist die alternierende Gruppe vom Grad , mit Permutationen von Elementen für .
  • ist die dizyklische Gruppe der Ordnung 4n.
  • ist die Kleinsche Vierergruppe der Ordnung 4.
  • ist die Quaternionengruppe der Ordnung für .

Die Notation wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen G und H zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung n < 60 sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen , mit n aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung 16 ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Es ist zu beachten, dass bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ gibt (nicht die Nebenklasse von ).

Zu jeder Ordnung wird zunächst die zyklische Gruppe angegeben, dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen:

Liste aller Gruppen bis Ordnung 20[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
1   (triviale Gruppe) - abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC1.svg
2   (Gruppe Z2) - abelsch, einfach, zyklisch, kleinste nichttriviale Gruppe
GroupDiagramMiniC2.svg
3 - abelsch, einfach, zyklisch
GroupDiagramMiniC3.svg
4 abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC4.svg
  (Kleinsche Vierergruppe) abelsch, die kleinste nichtzyklische Gruppe
GroupDiagramMiniD4.svg
5 - abelsch, einfach, zyklisch
GroupDiagramMiniC5.svg
6 , abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC6.svg
  (Symmetrische Gruppe) , kleinste nichtabelsche Gruppe
GroupDiagramMiniD6.svg
7 - abelsch, einfach, zyklisch
GroupDiagramMiniC7.svg
8 , abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC8.svg
, , abelsch
GroupDiagramMiniC2C4.svg
, abelsch
GroupDiagramMiniC2x3.svg
, , nichtabelsch
GroupDiagramMiniD8.svg
  (Quaternionengruppe) , nichtabelsch; die kleinste Hamiltonsche Gruppe
GroupDiagramMiniQ8.svg
9 abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC9.svg
abelsch
GroupDiagramMiniC3x2.svg
10 , abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC10.svg
, nichtabelsch
GroupDiagramMiniD10.svg
11 - abelsch, einfach, zyklisch
GroupDiagramMiniC11.svg
12 , , , abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC12.svg
, , , abelsch
GroupDiagramMiniC2C6.svg
, , , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniD12.svg
  (Gruppe A4) , , nichtabelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
GroupDiagramMiniA4.svg
(hier Verknüpfungstafel) , , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniX12.svg
13 - abelsch, einfach, zyklisch
GroupDiagramMiniC13.svg
14 , abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC14.svg
, nichtabelsch
GroupDiagramMiniD14.svg
15 , abelsch, zyklisch (siehe „Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.“)
GroupDiagramMiniC15.svg
16 , , abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC16.svg
, , abelsch
GroupDiagramMiniC2x4.svg
, , , , abelsch
GroupDiagramMiniC2x2C4.svg
, , , , abelsch
GroupDiagramMiniC2C8.svg
, , , abelsch
GroupDiagramMiniC4x2.svg
, , , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniD16.svg
, , , , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniC2D8.svg
, , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniQ16.svg
, , , , nichtabelsch, Hamiltonsche Gruppe
GroupDiagramMiniC2Q8.svg
Quasi-Diedergruppe , , , , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniQH16.svg
Nichtabelsche nicht-hamiltonsche modulare Gruppe , , , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniC2C8.svg
Semidirektes Produkt (siehe hier) , , , nichtabelsch
GroupDiagramMinix3.svg
Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. , , , , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniC2x2C4.svg
, , , , nichtabelsch
GroupDiagramMiniG44.svg
17 - abelsch, einfach, zyklisch
GroupDiagramMiniC17.svg
18 abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC18.svg
abelsch
GroupDiagramMiniC3C6.png
nichtabelsch
GroupDiagramMiniD18.png
nichtabelsch
GroupDiagramMiniC3D6.png
mit nichtabelsch
GroupDiagramMiniG18-4.png
19 - abelsch, einfach, zyklisch
GroupDiagramMiniC19.svg
20 abelsch, zyklisch
GroupDiagramMiniC20.svg
abelsch
GroupDiagramMiniC2C10.png
nichtabelsch
GroupDiagramMiniQ20.png
AGL1(5) nichtabelsch
GroupDiagramMiniC5semiprodC4.png
nichtabelsch
GroupDiagramMiniD20.png

Einfache Struktursätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Aussagen sind sehr elementare Struktursätze, deren Auswirkung sich deutlich in obiger Liste widerspiegelt.

  • Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe .[2]
  • Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung abelsch,[3] genauer isomorph zur zyklischen Gruppe oder zum direkten Produkt .[4]
  • Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe oder zur Diedergruppe .[5]
  • Sind und Primzahlen mit und ist kein Teiler von , dann ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe .[6]

„Small groups library“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programmbibliothek Small Groups library, die eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

  • alle der Ordnung bis 2000, außer den 49.487.365.422 Gruppen der Ordnung 1024 (bleiben 423.164.062 Gruppen);
  • alle der Ordnung 55 und 74 (92 Gruppen);
  • alle der Ordnung qn×p mit qn teilt 28, 36, 55 oder 74 und p ist eine beliebige von q verschiedene Primzahl;
  • alle Gruppen, deren Ordnung n in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O’Brien erstellt.[7]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
  2. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kap. I, § 2, Satz 2.10.
  3. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 6, Satz 6.10.
  4. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.2.12.
  5. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.2.11 e.
  6. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 8, Satz 8.10.
  7. The Small Groups library. Bei: icm.tu-bs.de.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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