Hausdorff-Raum

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Zwei Punkte, die durch Umgebungen getrennt werden.

Ein Hausdorff-Raum (auch hausdorffscher Raum) (nach Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M, in dem das Trennungsaxiom T_2 (auch Hausdorffeigenschaft oder Hausdorff’sches Trennungsaxiom genannt) gilt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein topologischer Raum M hat die Hausdorffeigenschaft, wenn für alle x,y \in M mit x \neq y disjunkte offene Umgebungen U_x und V_y existieren.

Mit anderen Worten: Alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt. Ein topologischer Raum, der die Hausdorffeigenschaft erfüllt, wird Hausdorff-Raum genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Hausdorff-Raum M lässt sich durch jede der folgenden zur Hausdorffeigenschaft äquivalenten Eigenschaften charakterisieren:

  • Jeder Filter auf M konvergiert gegen höchstens einen Punkt x \in M.
  • Jede Einpunktmenge \{x\} ist der Durchschnitt ihrer abgeschlossenen Umgebungen.
  • Die Diagonale \Delta := \{(x,x) \;|\; x \in M\} ist abgeschlossen bezüglich der Produkttopologie.

Insbesondere sind in Hausdorff-Räumen Grenzwerte von Folgen – anders als in allgemeinen topologischen Räumen – eindeutig. Dabei konvergiere eine Folge x_n in einem topologischen Raum X gegen einen Punkt x, wenn zu jeder Umgebung U von x ein N \in \mathbb{N} existiert, sodass x_n \in U für alle n \geq N gilt.

Unterräume von Hausdorff-Räumen bilden wiederum Hausdorff-Räume. Ebenso überträgt sich die Hausdorffeigenschaft auf beliebige Produkte von Hausdorff-Räumen.

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach Definition besitzt jeder Hausdorff-Raum die T1-Trennungseigenschaft und ist damit auch ein T0-Raum.

Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er präregulär (R1) ist:

alle paarweise topologisch unterscheidbaren Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt,

und die Kolmogoroff-Eigenschaft (T0) besitzt:

alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar.

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte x und y genau dann, wenn es eine offene Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht. "Durch Umgebungen getrennt" werden die Punkte x,y per Definition dann, wenn es offene Umgebungen x\in U_x, y\in V_y mit U_x\cap V_y=\emptyset gibt.

Beweis:

  • Wenn R1 und T0 gegeben sind, folgt unmittelbar T2: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
  • Der umgekehrte Schluss von T2 auf R1 und T0 geht so:
    • Aus der Definition von T2 folgt für verschiedene x, y die Existenz der Menge U_x, die x, aber nicht y enthält, ergo gilt T0.
    • Seien x, y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist x\neq y. Dann folgt mit T2, dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R1.

Spezialisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Hausdorff-Raum, der zusätzlich noch normal ist, wird als T4-Raum bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.

Im Gegensatz zur Filterkonvergenz ist die Eindeutigkeit von Folgengrenzwerten nur eine notwendige Bedingung für die Hausdorffeigenschaft. Stattet man z.B. eine überabzählbare Menge wie die reellen Zahlen mit der koabzählbaren Topologie aus, so erhält man einen nicht Hausdorffschen Raum, in dem konvergente Folgen genau einen Grenzwert besitzen.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.

Viele Beispiele nicht-Hausdorffscher Räume erhält man als Quotientenräume von Mannigfaltigkeiten bzgl. mancher Gruppenwirkungen oder allgemeinerer Äquivalenzrelationen. Zum Beispiel ist der Blattraum der Reeb-Blätterung (also der Quotientenraum bzgl. der Äquivalenzrelation: zwei Punkte sind äquivalent gdw. sie zum selben Blatt gehören) nicht Hausdorffsch.

Lokaleuklidische Räume müssen nicht Hausdorffsch sein. Der aus zwei Kopien von \R^1 durch Identifizierung eines offenen Intervalls entstehende Raum ist lokal homöomorph zum \R^1, aber nicht Hausdorffsch.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]