Riemannscher Umordnungssatz

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Der riemannsche Umordnungssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein mathematischer Satz über bedingt konvergente Reihen.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine bedingt konvergente Reihe reeller Zahlen, dann existiert zu jeder beliebig vorgegebenen reellen Zahl eine Umordnung der Reihenglieder , so dass die umgeordnete Reihe gegen konvergiert. Zu gibt es eine Umordnung , so dass die umgeordnete Reihe gegen bestimmt divergiert.

Unter der Umordnung versteht man eine bijektive Abbildung der Menge der natürlichen Zahlen auf sich selbst (eine Permutation).

Begründung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man teilt die Folge in zwei Teilfolgen und auf, die nur die nicht-negativen bzw. die negativen Folgenglieder von enthalten. Zum Beispiel:

Die Reihen und sind beide bestimmt divergent. Wäre nämlich eine der beiden Reihen konvergent, dann wäre auch die andere konvergent, da sie sich als Differenz der Ursprungsreihe und der ersten Reihe (mit eingefügten Nullen) schreiben ließe. Damit wäre aber auch absolut konvergent, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Insbesondere folgt daraus, dass es unendlich viele Glieder mit positivem Vorzeichen und unendlich viele Glieder mit negativem Vorzeichen gibt.

Konstruktion der Umordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Reihe, die gegen die reelle Zahl konvergiert, kann folgendermaßen konstruiert werden: Man summiert solange nicht-negative Folgeglieder auf, bis man zum ersten Mal das Ziel überschreitet (im Fall ist dies die leere Summe).

Anschließend summiert man dann solange negative Folgenglieder , bis die Partialsumme den Wert unterschreitet.

Danach fährt man abwechselnd mit nicht-negativen und negativen Folgengliedern fort. Aus dieser Überlegung entsteht eine Umordnung der ursprünglichen Reihe.

Da eine Nullfolge ist, gibt es für jeden noch so kleinen -Streifen um einen Index, ab dem sämtliche Partialsummen darin liegen. Die so umgeordnete Reihe konvergiert also gegen .

Ist , so wählt man die -te Partialreihe nicht-negativer Folgenglieder in obiger Konstruktion so, dass die Zahl überschritten wird. Danach wählt man das indexkleinste, noch nicht verwendete, negative Folgenglied. Die so entstehende Umordnung divergiert gegen . Der Fall kann entsprechend behandelt werden.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Am Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe soll die Auswirkung einer Umordnung gezeigt werden. Diese Reihe ist konvergent, aber nicht absolut konvergent: Die Reihe

konvergiert, während die harmonische Reihe

divergiert. Obwohl die alternierende harmonische Reihe in normaler Darstellung gegen ln(2) konvergiert, kann sie nach dem Riemannschen Umordnungssatz so umgeordnet werden, dass sie zu einer beliebigen anderen Zahl konvergiert, oder sogar divergiert. Im Beispiel wird sie nur durch Umordnung den Grenzwert ln(2)/2 erreichen.

Die übliche Schreibweise dieser Reihe ist:

Wenn man die Summanden umsortiert, erhält man:

Allgemein ist diese Summe aus Dreierblöcken aufgebaut:

Ein solcher Block lässt sich umformen zu:

Die gesamte Summe ist damit genau die Hälfte der alternierenden harmonischen Reihe:

Steinitzscher Umordnungssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der steinitzsche Umordnungssatz ist eine Verallgemeinerung des riemannschen Umordnungssatzes. Ist eine konvergente Reihe mit , dann ist die Menge der Grenzwerte aller konvergent umgeordneten Reihen

ein affiner Unterraum des . Ist insbesondere , dann ist in der komplexen Ebene entweder ein Punkt, eine Gerade oder ganz . Die Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn nur einen einzigen Punkt enthält.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]