Kernsatz von Schwartz

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Der Kernsatz von Schwartz (oder Satz vom Kern) ist eine wichtige mathematische Aussage im Bereich der Distributionentheorie, welche ein Teilgebiet der Funktionalanalysis ist. Sie wurde von dem Mathematiker Laurent Schwartz im Jahr 1952 bewiesen. Diese Aussage wird jedoch nicht auf Grund ihrer Wichtigkeit Kernsatz genannt, sondern weil es sich um eine Aussage über Integralkerne handelt. Diese hier behandelten Integralkerne werden Schwartz-Kerne genannt.

Einleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit jeder Funktion kann man einen Integraloperator durch

definieren. Das Symbol bezeichnet die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Außerdem gilt die Identität

für alle und , wobei hier als -Skalarprodukt zu verstehen und das Tensorprodukt zweier Funktionen durch

definiert ist. Im Folgenden soll diese Idee auf die Distributionentheorie erweitert werden. Sei dazu also und . Außerdem darf wieder eine Distribution sein.

Kernsatz von Schwartz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Distribution definiert eine lineare Abbildung , welche der Identität

genügt und bezüglich der schwach-*-Topologie stetig ist. Das heißt, falls ein Nullfolge ist, so ist auch eine Nullfolge in

Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung genau eine Distribution , so dass gilt.

Diese Distribution heißt Schwartz-Kern.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).