Satz von Barankin und Stein

Der Satz von Barankin und Stein ist ein mathematischer Satz der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Er beschreibt die Struktur lokal minimaler Schätzer und kann somit als eine Spezialisierung des Satzes von Lehmann-Scheffé betrachtet werden, der die Struktur gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer beschreibt.

Der Satz ist nach Charles Stein und Edward William Barankin benannt.

Aussage

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$. Sei ein festes $\vartheta _{0}\in \Theta$ ausgewählt. Des Weiteren dominiere $P_{\vartheta _{0}}$ die Verteilungsklasse $(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }$, das heißt jedes $P_{\vartheta }$ besitzt eine Dichtefunktion

$f_{\vartheta }:={\frac {\mathrm {d} P_{\vartheta }}{\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}}$

bezüglich $P_{\vartheta _{0}}$. Jede dieser Dichtefunktionen sei aus $L^{2}(P_{\vartheta _{0}}):=L^{2}(X,{\mathcal {A}},P_{\vartheta _{0}})$, der Menge aller quadratintegrierbaren Funktionen bezüglich $P_{\vartheta _{0}}$ (siehe Lp-Raum).

Sei $D_{g}$ die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für die Parameterfunktion $g$ und sei

$D_{g}(\vartheta _{0}):=D_{g}\cap L^{2}(P_{\vartheta _{0}})$

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer mit endlicher Varianz bezüglich $P_{\vartheta _{0}}$. Des Weiteren sei

$\operatorname {span} (A)$

die lineare Hülle der Funktionen in $A$ und

${\overline {B}}^{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$

den Abschluss der Menge $B$ in $L^{2}(P_{\vartheta _{0}})$.

Satz

Der Satz von Barankin und Stein lautet nun: Ein $T\in D_{g}(\vartheta _{0})$ ist genau dann lokal optimal in $\vartheta _{0}$, wenn

$T\in {\overline {\operatorname {span} \left(\{f_{\vartheta }\colon \vartheta \in \Theta \}\right)}}^{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$

ist.

Beweisskizze

Der Beweis beruht im Kern auf Orthogonalitätsargumenten im Hilbertraum $L^{2}(P_{\vartheta _{0}})$. Mit der Notation ${\mathcal {L}}_{\vartheta }=\operatorname {span} f_{\vartheta }$ und den Skalarprodukt $\langle \cdot ;\cdot \rangle _{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$ ist

$\operatorname {E} _{\vartheta }(T)=0\iff E_{\vartheta _{0}}(Tf_{\vartheta })\iff \langle f_{\vartheta };T\rangle _{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}=0\iff T\in {\mathcal {L}}_{\vartheta }^{\perp }$.

Demnach gilt für $D_{0}(\vartheta _{0})$, die Menge aller Nullschätzer mit endlicher Varianz bezüglich $P_{\vartheta _{0}}$

$D_{0}(\vartheta _{0})=\bigcap _{\vartheta \in \Theta }{\mathcal {L}}_{\vartheta }^{\perp }$.

Nach der Kovarianzmethode ist aber $T$ genau dann lokal minimal, wenn $T\in D_{0}(\vartheta _{0})^{\perp }$ ist. Da in Hilberträumen für das orthogonale Komplement von Unterräumen $U_{i}$

$\left(\bigcap _{i\in I}U_{i}^{\perp }\right)^{\perp }={\overline {\operatorname {span} (U_{i})}}$

gilt, folgt

$D_{0}(\vartheta _{0})^{\perp }=\left(\bigcap _{\vartheta \in \Theta }{\mathcal {L}}_{\vartheta }^{\perp }\right)^{\perp }={\overline {\operatorname {span} \left(\{f_{\vartheta }\colon \vartheta \in \Theta \}\right)}}^{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$.

Mittels der obigen Aussage über die Kovarianzmethode folgt damit der Satz.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.