Satz von Carmichael

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Der Satz von Carmichael (nach Robert Daniel Carmichael, 1910) ist eine zahlentheoretische Aussage über eine spezielle Klasse von einfach zu programmierenden Zufallszahlengeneratoren und liefert Kriterien, die dabei helfen, Generatoren von möglichst guter Qualität zu wählen.

Aussage des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine natürliche Zahl vorgegeben (der sog. Modul). Zu jeder ganzen Zahl als Faktor und jeder ganzen Zahl im Bereich von 0 bis (einschließlich) als Startwert (oder Saat) kann man den multiplikativen Kongruenzgenerator definieren. Die Kombination von und führt zumindest dann zu einer maximalen Periodenlänge unter den multiplikativen Kongruenzgeneratoren mit demselben Modul , wenn

  1. zu teilerfremd ist, d.h. , und
  2. primitives Element modulo ist.

Für Primzahlpotenzen berechnet sich die maximale Periodenlänge hierbei gemäß

  • ,
  • ,
  • für sowie
  • für und ungerade Primzahlen .

Für eine zusammengesetzte Zahl gilt schließlich .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Zum Modul sind demnach 1, 3, 7 und 9 geeignete Startwerte , während 3 und 7 geeignete Faktoren sind. In der Tat liefert etwa , die Folge mit der Periodenlänge vier – mehr ist im Fall nicht möglich.
  • Zu sind etwa und geeignete Werte. Die erzeugte Folge hat Periodenlänge 16 und erweckt bereits einen leichten Eindruck von scheinbar zufälliger Unregelmäßigkeit.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Zahl heißt hierbei primitives Element modulo , wenn der kleinste positive Exponent , für den gilt, maximal ist. Falls Primitivwurzeln modulo existieren, ist dies gleichbedeutend damit, dass eine solche ist.
  • Die im Satz genannten Kriterien sind hinreichend; das zweite ist auch notwendig, nicht jedoch das erste. Beispielsweise liefert die Wahl , , die Folge der Periodenlänge vier, obwohl nicht teilerfremd zu ist.
  • Um zu prüfen, ob eine Zahl primitiv modulo ist, genügt es, diese Eigenschaft jeweils für sämtliche teilenden Primzahlpotenzen zu überprüfen.
  • In der computertechnischen Anwendung ist meist eine nicht zu kleine Zweierpotenz; dann ist primitiv genau dann, wenn oder gilt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]