Die Carmichael-Funktion aus dem Bereich der Mathematik ist eine zahlentheoretische Funktion , die zu jeder natürlichen Zahl n das kleinste
m
=:
λ
(
n
)
{\displaystyle m=:\lambda (n)}
bestimmt, so dass:
a
m
≡
1
mod
n
{\displaystyle a^{m}\equiv 1\mod n}
für jedes
a
{\displaystyle a}
gilt, das teilerfremd zu n ist. In gruppentheoretischer Sprechweise ist
λ
(
n
)
{\displaystyle \lambda (n)}
der Gruppenexponent der Restklassengruppe
(
Z
/
n
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}
.
Die Carmichael-Funktion geht auf den Mathematiker Robert Daniel Carmichael zurück. Eine Bedeutung spielt die Funktion bei Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen .
Die Carmichael-Funktion lässt sich nach folgendem Schema berechnen:
λ
(
1
)
=
1
λ
(
2
)
=
1
λ
(
4
)
=
2
λ
(
2
k
)
=
2
k
−
2
f
u
¨
r
k
>
2
λ
(
p
k
)
=
p
k
−
1
⋅
(
p
−
1
)
f
u
¨
r
p
≥
3
p
r
i
m
,
k
>
0
λ
(
p
1
k
1
p
2
k
2
⋅
⋅
⋅
p
s
k
s
)
=
kgV
{
λ
(
p
1
k
1
)
,
λ
(
p
2
k
2
)
,
.
.
.
,
λ
(
p
s
k
s
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (1)&=1\\\lambda (2)&=1\\\lambda (4)&=2\\\lambda (2^{k})&=2^{k-2}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ k>2\\\lambda (p^{k})&=p^{k-1}\cdot (p-1)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ p\geq 3\ \mathrm {prim} ,k>0\\\lambda (p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{s}^{k_{s}})&=\operatorname {kgV} \{\lambda (p_{1}^{k_{1}}),\lambda (p_{2}^{k_{2}}),...,\lambda (p_{s}^{k_{s}})\}\end{aligned}}}
Dabei stehen die
p
i
{\displaystyle p_{i}}
für paarweise verschiedene Primzahlen und die
k
i
{\displaystyle k_{i}}
für positive ganze Zahlen.
Die folgende Formel kommt zum selben Ergebnis:
Sei
m
=
p
1
k
1
p
2
k
2
⋅
⋅
⋅
p
s
k
s
{\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{s}^{k_{s}}}
die Primfaktorzerlegung von
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
(mit
p
1
=
2
{\displaystyle p_{1}=2}
, falls
m
{\displaystyle m}
gerade):
λ
(
m
)
=
kgV
{
φ
(
p
1
k
1
)
,
φ
(
p
2
k
2
)
,
.
.
.
,
φ
(
p
s
k
s
)
}
{\displaystyle \lambda (m)=\operatorname {kgV} \{\varphi (p_{1}^{k_{1}}),\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{s}^{k_{s}})\}}
falls
m
≢
0
mod
8
{\displaystyle m\not \equiv 0\mod 8}
λ
(
m
)
=
kgV
{
φ
(
p
1
k
1
)
/
2
,
φ
(
p
2
k
2
)
,
.
.
.
,
φ
(
p
s
k
s
)
}
{\displaystyle \lambda (m)=\operatorname {kgV} \{\varphi (p_{1}^{k_{1}})/2,\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{s}^{k_{s}})\}}
falls
m
≡
0
mod
8
{\displaystyle m\equiv 0\mod 8}
Dabei bezeichnet
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
die Eulersche φ-Funktion . Für Potenzen ungerader Primzahlen
p
{\displaystyle p}
gilt
φ
(
p
k
)
=
λ
(
p
k
)
{\displaystyle \varphi (p^{k})=\lambda (p^{k})}
λ
(
15
)
=
λ
(
3
⋅
5
)
=
kgV
{
φ
(
3
)
,
φ
(
5
)
}
=
kgV
{
2
,
4
}
=
4
{\displaystyle \lambda (15)=\lambda (3\cdot 5)=\operatorname {kgV} \{\varphi (3),\varphi (5)\}=\operatorname {kgV} \{2,4\}=4}
a
4
≡
1
mod
15
{\displaystyle a^{4}\equiv 1\mod 15}
gilt für alle a, die teilerfremd zur Zahl 15 sind.
Da die Carmichael-Funktion zu jeder natürlichen Zahl
n
{\displaystyle n\ }
das kleinste
m
=
λ
(
n
)
{\displaystyle m=\lambda (n)}
bestimmt, so dass
a
m
≡
1
mod
n
{\displaystyle a^{m}\equiv 1\mod n}
für jedes
a
{\displaystyle a\ }
gilt, das teilerfremd zu
n
{\displaystyle n\ }
ist, und
c
−
1
{\displaystyle c-1\ }
zu jeder Carmichael-Zahl
c
{\displaystyle c\ }
durch
m
=
λ
(
c
)
{\displaystyle m=\lambda (c)}
teilbar ist, folgt aus:
a
λ
(
c
)
≡
1
mod
c
{\displaystyle a^{\lambda (c)}\equiv 1\mod c}
auch
a
c
−
1
≡
1
mod
c
{\displaystyle a^{c-1}\equiv 1\mod c}
Zu jeder Carmichael-Zahl
c
{\displaystyle c\ }
gibt es ein
d
{\displaystyle d\ }
, so dass für jedes
a
{\displaystyle a\ }
gilt
a
c
−
1
=
a
λ
(
c
)
⋅
d
{\displaystyle a^{c-1}=a^{\lambda (c)\cdot d}}
. Man nehme
d
:=
c
−
1
λ
(
c
)
{\displaystyle d:={\tfrac {c-1}{\lambda (c)}}}
.
Für die Zahlen Eins, Zwei, Vier, für jede ungerade Primzahlpotenz und für alle Doppelten von ungeraden Primzahlpotenzen sind die Carmichael-Funktion und die Eulersche φ-Funktion identisch. Genau dann, wenn
λ
(
n
)
=
φ
(
n
)
{\displaystyle \lambda (n)=\varphi (n)}
, existieren auch Primitivwurzeln modulo
n
{\displaystyle n}
. Im Allgemeinen unterscheiden sich beide Funktionen;
λ
(
n
)
{\displaystyle \lambda (n)}
ist jedoch stets ein Teiler von
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
.
φ
(
105
)
=
φ
(
3
⋅
5
⋅
7
)
=
φ
(
3
)
⋅
φ
(
5
)
⋅
φ
(
7
)
=
2
⋅
4
⋅
6
=
48
{\displaystyle \varphi (105)=\varphi (3\cdot 5\cdot 7)=\varphi (3)\cdot \varphi (5)\cdot \varphi (7)=2\cdot 4\cdot 6=48}
λ
(
105
)
=
λ
(
3
⋅
5
⋅
7
)
=
kgV
{
φ
(
3
)
,
φ
(
5
)
,
φ
(
7
)
}
=
kgV
{
2
,
4
,
6
}
=
12
{\displaystyle \lambda (105)=\lambda (3\cdot 5\cdot 7)=\operatorname {kgV} \{\varphi (3),\varphi (5),\varphi (7)\}=\operatorname {kgV} \{2,4,6\}=12}