Satz von Cramér

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Der Satz von Cramér (nach dem schwedischen Mathematiker Harald Cramér) ist die Umkehrung der bekannten Aussage, dass die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist.

Satz von Cramér[Bearbeiten]

Ist eine normalverteilte Zufallsvariable X die Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen X_1 und X_2, dann sind die Summanden X_1 und X_2 ebenfalls normalverteilt.

Eine normalverteilte Zufallsvariable lässt sich also nur in normalverteilte unabhängige Summanden zerlegen.

Man beachte dazu auch die „Gegenaussage“ des zentralen Grenzwertsatzes, nach dem die Summe einer großen Anzahl von unabhängigen nicht notwendig normalverteilten Summanden annähernd normalverteilt ist.

Der Satz von Cramér hat eine gewisse Stabilität gegenüber kleinen Abweichungen: Ist die Summe X_1 + 
X_2 (in einem bestimmten Sinne) annähernd normalverteilt, dann sind es auch die Summanden.

Der Satz wurde ursprünglich von Paul Lévy formuliert,[1] aber erst kurz danach von Harald Cramér bewiesen.[2] Er wird deshalb manchmal auch als Satz von Lévy-Cramér bezeichnet, was aber zu Verwechslungen mit anderen Sätzen dieses Namens führen kann.

Beweisskizze[Bearbeiten]

Der Beweis lässt sich sehr elegant durch Anwendung analytischer Eigenschaften charakteristischer Funktionen führen: Aus der Zerlegung X = X_1 + X_2 folgt für die zugehörigen charakteristischen Funktionen \varphi (t) = \varphi_1 (t) \cdot \varphi_2 (t). Die Funktion \varphi ist eine ganze Funktion der Wachstumsordnung 2 ohne Nullstellen, deshalb sind die Faktoren \varphi_1, \, \varphi_2 ebenfalls ganze Funktionen mit einer Wachstumsordnung höchstens 2. Daraus folgt (am Beispiel des ersten Faktors) die Darstellung \varphi_1 (t) = \exp (a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 ). Aus elementaren Eigenschaften charakteristischer Funktionen folgt daraus schließlich die Darstellung \varphi_1 (t) = \exp (\mathrm{i}a_1t - a_2t^2 ), so dass \varphi_1 die charakteristische Funktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Parametern \mu = a_1\, und \sigma^2 = 2\cdot a_2 ist.

Diese Beweisskizze demonstriert sehr gut das Zusammenwirken unterschiedlicher mathematischer Disziplinen, hier der Stochastik und der klassischen Funktionentheorie.

Literatur[Bearbeiten]

  • Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960. 2. Auflage 1970, ISBN 0-852-64170-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. In: J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402.
  2. Harald Cramér: Ueber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. In: Math. Z. 41, 1936, S. 405–414.