Satz von Hjelmslev

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Der Satz von Hjelmslev (auch Hjelmslevscher Mittelliniensatz genannt, in der englischsprachigen Literatur als Hjelmslev’s theorem bekannt) ist ein Satz der Geometrie der Ebene, welcher auf den dänischen Mathematiker Johannes Hjelmslev (1873 bis 1950) zurückgeht.[1][2][3][4] Hjelmslev formuliert diesen Satz im Rahmen seiner berühmten Abhandlung über eine Neue Begründung der ebenen Geometrie, in welcher er zeigt, dass eine ebene Geometrie unter ausschließlicher Benutzung ebener Axiome, ohne Stetigkeitsbetrachtungen, ganz unabhängig von der Parallelenfrage aufgebaut werden kann.[5][6] Die dabei in § 2 der Abhandlung (Kongruenz und Symmetrie) angestellten Untersuchungen zu den ebenen Kongruenzabbildungen gipfeln im Satz von Hjelmslev,[7] welcher eine fundamentale Eigenschaft dieser Kongruenzabbildungen behandelt.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die verbundenen roten Punkte sind Bild-Urbild-Paare einer Kongruenz, die grünen Mittelpunkte liegen auf einer Geraden.

Gegeben seien in der euklidischen Ebene eine Kongruenzabbildung sowie zwei Geraden und mit .

Für jeden Punkt und seinen Bildpunkt sei der Mittelpunkt der Strecke .

Dann gilt:

Entweder

sind die Mittelpunkte alle paarweise verschieden und bilden eine einzige Gerade

oder

die Mittelpunkte fallen zu einem einzigen Punkt zusammen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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Monographien

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bachmann: S. 79.
  2. Coxeter: S. 69.
  3. Löbell: Der Hjelmslevsche Mittelliniensatz und verwandte Sätze. In: Monatsh. Math. Band 65, S. 249 ff.
  4. Pedoe: S. 195.
  5. Hjelmslev: Neue Begründung der ebenen Geometrie. In: Math. Ann. Band 64, S. 449 ff.
  6. In moderner Terminologie, etwa bei Karzel, Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. S. 160 ff., ist die Rede von Hjelmslevs Begründung der ebenen absoluten Geometrie mit Halbdrehungen. Karzel / Kroll heben hinsichtlich dieser Abhandlung von Hjelmslev hervor, dass die Hjelmslevschen Methoden für die Weiterentwicklung der Geometrie von größter Bedeutung waren
  7. Hjelmslev: Neue Begründung der ebenen Geometrie. In: Math. Ann. Band 64, S. 459.