Satz von Hopf-Rinow

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Satz von Hopf-Rinow ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass bei riemannschen Mannigfaltigkeiten die Begriffe der geodätischen Vollständigkeit und der Vollständigkeit im Sinne von metrischen Räumen zusammenfallen. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft heißt dann vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit. Benannt ist der Satz nach den Mathematikern Heinz Hopf und seinem Schüler Willi Rinow.

Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit heißt geodätisch vollständig, falls für alle die Exponentialabbildung für alle definiert ist. Das heißt, für jeden Punkt und jeden Tangentialvektor ist die Geodäte mit und auf ganz definiert.

Satz von Hopf und Rinow[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine endlichdimensionale, zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

  1. Die Mannigfaltigkeit ist geodätisch vollständig.
  2. Es existiert ein so dass für alle definiert ist.
  3. Die Mannigfaltigkeit ist vollständig als metrischer Raum.
  4. Die Heine-Borel-Eigenschaft gilt. Das heißt jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge ist kompakt.

Aus diesen vier äquivalenten Aussagen lässt sich eine weitere folgern.

  • Für alle existiert eine Geodäte , welche die Punkte und auf kürzestem Weg verbindet.

Die Abstandsfunktion ist hierbei definiert als das Minimum über alle stückweise differenzierbaren Kurven mit und , das heißt, es gilt

Diese Abstandsfunktion macht zu einem metrischen Raum.

Korollare[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt, dass alle kompakten, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeiten (geodätisch) vollständig sind.
  • Für eine kompakten, zusammenhängende Lie Gruppe folgt, dass die Exponentialabbildung surjektiv ist.
  • Alle geschlossenen Untermanifaltigkeiten einer vollständigen, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeit ist vollständig

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Sphäre , der euklidische Raum und der hyperbolische Raum sind vollständig.
  • Der metrische Raum mit der euklidischen Metrik induziert durch das Standardskalarprodukt ist nicht vollständig. Wählt man nämlich einen Punkt , so gibt es zu dem Punkt keine kürzeste Verbindung in .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.