Satz von Radó

In der Mathematik werden verschiedene auf Tibor Radó zurückgehende Sätze als Satz von Radó bezeichnet. (Darüber hinaus gibt es noch zwei auf Richard Rado zurückgehende Lehrsätze, nämlich den Satz von Rado in der Matroidtheorie sowie den Rado'schen Satz in der Ramseytheorie).

Satz von Radó (Riemannsche Flächen)

Der Satz von Radó in der Theorie der Riemannschen Flächen besagt, dass jede zusammenhängende Riemannsche Fläche das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.

Dieser Satz ist eine Besonderheit komplex 1-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Die analoge Aussage in höheren Dimensionen trifft nicht zu, weshalb in der Definition höher-dimensionaler komplexer Mannigfaltigkeiten das zweite Abzählbarkeitsaxiom explizit verlangt werden muss.

Satz von Radó (Harmonische Abbildungen)

Es sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ offen, zusammenhängend und konvex mit glattem Rand. Dann gibt es zu jedem Homöomorphismus

$f\colon S^{1}\to \partial \Omega$

eine harmonische Abbildung

$u\colon D^{2}\to \Omega$

mit $u\mid _{S^{1}}=f$. Hierbei bezeichnet $D^{2}$ die Einheitskreisscheibe und $S^{1}=\partial D^{2}$ ihren Rand.

Eine auch als Satz von Radó-Behnke-Stein-Cartan bezeichnete Variante dieses Satzes von Radó besagt:

wenn eine stetige Funktion $f\colon D^{2}\to \mathbb {C}$ auf $\left\{z\in D^{2}\colon f(z)\not =0\right\}$ analytisch ist, dann ist sie auf ganz $D^{2}$ analytisch.

Satz von Beckenbach-Radó (Subharmonische Funktionen)

Es sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge. Der Satz von Beckenbach-Radó besagt, dass eine stetige Funktion $u\colon \Omega \to \mathbb {R}$ genau dann subharmonisch ist, wenn für alle abgeschlossenen Kugeln ${\overline {B(x,r)}}\subset \Omega$ die Ungleichung

$\int _{B(x,r)}u(z)dz\leq \int _{\partial B(x,r)}u(y)dy$

gilt.