Komplexe Mannigfaltigkeit

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Komplexe Mannigfaltigkeiten sind topologische Mannigfaltigkeiten mit Modellraum , deren Kartenwechselhomöomorphismen sogar biholomorph sind. Diese Objekte werden in der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie untersucht. Ihre Definition ist analog zu der Definition der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, jedoch kann im Gegensatz zu den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht jede komplexe Mannigfaltigkeit in den eingebettet werden.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein topologischer Hausdorff-Raum, welcher dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt. Weiterhin sei eine natürliche Zahl.

Komplexer Atlas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Karte der komplexen Dimension n ist eine offene Teilmenge zusammen mit einem Homöomorphismus

.

Eine Karte ist also ein 2-Tupel .

Ein komplexer Atlas (der Dimension ) ist eine Menge solcher Karten, so dass

gilt, mit der Eigenschaft, dass für je zwei Karten , die Kartenwechselabbildungen

biholomorph sind.

Komplexe Struktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine komplexe Struktur ist ein bezüglich Inklusion maximaler komplexer Atlas. Jeder komplexe Atlas ist in genau einer komplexen Struktur enthalten, nämlich in der Vereinigung aller zu ihm äquivalenten Atlanten. Dabei sind zwei komplexe Atlanten äquivalent, falls ihre Vereinigungsmenge ebenfalls ein komplexer Atlas ist (d.h. wenn alle Kartenwechselabbildungen zwischen den beiden Atlanten biholomorph sind).

Bemerkung: Alternativ kann man eine komplexe Struktur auch als eine Äquivalenzklasse bezüglich dieses Äquivalenzbegriffs definieren.

Komplexe Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Versieht man nun mit einer solchen komplexen Struktur, so spricht man von einer komplexen Mannigfaltigkeit. Genauer gesagt ist ein 2-Tupel eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension , wenn eine komplexe Struktur der Dimension auf ist. Die Karten aus werden dann auch als Karten der komplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Holomorphe Funktionen, Strukturgarbe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion heißt holomorph in , wenn für eine Karte mit die Funktion eine in holomorphe Funktion ist. Wegen der obigen Kompatibilitätsbedingung ist diese Bedingung unabhängig von der gewählten Karte. Eine Funktion heißt holomorph auf einer offenen Teilmenge , wenn sie in jedem Punkt holomorph ist.

Als Strukturgarbe der komplexen Mannigfaltigkeit wird die Garbe der holomorphen Funktionen bezeichnet. ist ein geringter Raum.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension kann auch als glatte Mannigfaltigkeit der Dimension aufgefasst werden.
  • Der Raum der holomorphen Funktion von M nach enthält, falls M kompakt ist, nur die konstanten Funktion. Deshalb interessiert man sich dafür, ob eine komplexe Mannigfaltigkeit holomorph separabel ist.
  • Kompakte, komplexe Mannigfaltigkeiten können nicht in den eingebettet werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fastkomplexe Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Abschwächung des Begriffs komplexe Mannigfaltigkeit ist der Begriff der fastkomplexen Mannigfaltigkeit. Während komplexe Mannigfaltigkeiten lokal wie der komplexe Raum aussehen, tun dies fastkomplexe nur „infinitesimal“, das heißt die Tangentialräume sind (auf untereinander verträgliche Art) komplexe Vektorräume. Um einen reellen Vektorraum zu einem komplexen zu machen, muss man festlegen, was das Produkt eines Vektors mit der imaginären Einheit sein soll. Dies ist im Fall des Tangentialraums die Aufgabe der Abbildung .

Fastkomplexe Struktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine fastkomplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit ist eine glatte Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung auf den Tangentialraum zu jedem Punkt eine bijektive lineare Abbildung ist, die

erfüllt. (Dies entspricht der Gleichheit .)

Fastkomplexe Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer fastkomplexen Struktur auf .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Seien und zwei fastkomplexe Mannigfaltigkeiten mit den jeweiligen fastkomplexen Strukturen und . Eine stetig differenzierbare Abbildung heißt holomorph (oder pseudo-holomorph), wenn der Pushforward von mit den fastkomplexen Strukturen von und verträglich ist, das heißt, es muss

    gelten.
  • Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist automatisch auch eine fastkomplexe. Durch die komplexe Struktur werden die Tangentialräume zu komplexen Vektorräumen und durch für wird eine fastkomplexe Struktur definiert. Umgekehrt braucht eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit im Allgemeinen keine komplexe Struktur zu besitzen. Falls es aber einen Atlas gibt mit Karten, deren Zielbereich ein komplexer Vektorraum ist und die im Sinne der fastkomplexen Struktur holomorph sind, dann ist dieser Atlas ein komplexer Atlas, der die fastkomplexe Struktur induziert. Man kann deshalb komplexe Mannigfaltigkeiten auch definieren als fastkomplexe Mannigfaltigkeiten, die einen holomorphen Atlas besitzen.
  • Im reell zweidimensionalen (d.h. im komplex eindimensionalen) ist jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit, also eine riemannsche Fläche. Dies kann man durch das Lösen der Beltrami-Gleichung zeigen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.