Satz von Routh

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Routh theorem v2.svg

Der Satz von Routh, benannt nach Edward Routh, ist ein mathematischer Satz zur Geometrie des Dreiecks. Er macht folgende Aussage über den Flächeninhalt von Dreiecken (siehe Grafik):

ABC sei ein Dreieck mit Flächeninhalt A_{ABC} (äußeres Dreieck in der Grafik). Ferner seien F, D und E Punkte auf den Seiten [AB], [BC] bzw. [AC]. Die Teilverhältnisse seien:

\overline{AF}/\overline{BF} = r
\overline{BD}/\overline{CD} = s
\overline{CE}/\overline{AE} = t

Mit I, G und H seien die Schnittpunkte von AD und CF, AD und BE bzw. BE und CF bezeichnet.

Dann gilt für den Flächeninhalt von Dreieck GHI (inneres Dreieck in der Grafik):

A_{GHI} = \frac{(rst-1)^2}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)} A_{ABC}.

Der Satz von Ceva kann als Spezialfall des Satzes von Routh aufgefasst werden. Schneiden sich nämlich die Transversalen [AD], [BE] und [CF] in einem Punkt, so ist der Flächeninhalt des Dreiecks GHI gleich 0. Daraus kann rst = 1 gefolgert werden, also die Aussage des Satzes von Ceva.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]