Satz von Vantieghem

Der Satz von Vantieghem ist ein Primzahlkriterium der Zahlentheorie. Er besagt, dass eine natürliche Zahl n genau dann prim ist, wenn

$\prod _{1\leq k\leq n-1}\left(2^{k}-1\right)\equiv n\mod \left(2^{n}-1\right).$

Analog ist n genau dann prim, wenn folgende Kongruenz von Polynomen in X gilt:

$\prod _{1\leq k\leq n-1}\left(X^{k}-1\right)\equiv n-\left(X^{n}-1\right)/\left(X-1\right)\mod \left(X^{n}-1\right)$

oder:

$\prod _{1\leq k\leq n-1}\left(X^{k}-1\right)\equiv n\mod \left(X^{n}-1\right)/\left(X-1\right).$

Literatur

• L. J. P. Kilford: A generalization of a congruence due to Vantieghem only holding for primes. 2004, arxiv:math/0402128. Ein Artikel mit Beweis für dieses Primzahlkriterium.