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Der Satz von Weyl (nach Hermann Weyl ) ist die Grundlage für arithmetische Zufallszahlengeneratoren . Er besagt:
Sei
y
0
∈
]
0
,
1
[
{\displaystyle y_{0}\in \ ]0,1[}
irrationale Zahl . Dann hat die Folge
(
u
i
)
i
≥
1
⊆
]
0
,
1
[
{\displaystyle (u_{i})_{i\geq 1}\subseteq \ ]0,1[}
gliedweise definiert durch
u
i
=
i
y
0
−
⌊
i
y
0
⌋
=
i
y
0
mod
1
{\displaystyle u_{i}=iy_{0}-\lfloor iy_{0}\rfloor =iy_{0}\ {\bmod {\ }}1}
die asymptotische Gleichverteilungseigenschaft. Für alle
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
0
<
a
<
b
<
1
{\displaystyle 0<a<b<1}
|
{
i
|
1
≤
i
≤
n
;
a
≤
u
i
≤
b
}
|
n
→
n
→
∞
b
−
a
{\displaystyle {\frac {\left|\{i|1\leq i\leq n;a\leq u_{i}\leq b\}\right|}{n}}\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\quad }}\quad b-a}
Anders gesagt: die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewähltes Folgenglied in
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
![{\displaystyle y_{0}\in \ ]0,1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4bf56fbd54a1fbe40eac78700ee17496e6ab7ca)
![{\displaystyle (u_{i})_{i\geq 1}\subseteq \ ]0,1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc49134822b7ddf843f97e82c953cd155b6e299)
![{\displaystyle {\frac {\left|\{i|1\leq i\leq n;a\leq u_{i}\leq b\}\right|}{n}}\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\quad }}\quad b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdd7de1545dd14ef8bcbf5dc3ab02bfc16d1144)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
