Hermann Weyl

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Dieser Artikel befasst sich mit dem Mathematiker. Für den Abgeordneten des preußischen Landtags siehe Hermann Weyl (Politiker)
Hermann Weyl
Hermann Weyl (links) mit Ernst Peschl

Hermann Klaus Hugo Weyl (* 9. November 1885 in Elmshorn; † 8. Dezember 1955 in Zürich) war ein deutscher Mathematiker, Physiker und Philosoph, der wegen seines breiten Interessensgebiets von der Zahlentheorie bis zur theoretischen Physik und Philosophie als einer der letzten mathematischen Universalisten gilt.

Leben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weyl besuchte das Gymnasium Christianeum in Altona.[1] Auf Empfehlung des Direktors, der ein Cousin David Hilberts war und den die Begabung des Jungen beeindruckte, begann Weyl nach seinem Abitur 1904 in Göttingen bei Hilbert Mathematik und nebenbei auch Physik zu studieren. Er belegte zudem Kurse in Philosophie bei Edmund Husserl, wobei er seine spätere Frau Helene kennenlernte. Bis auf ein Jahr 1905 in München studierte er in Göttingen, wo er 1908 bei David Hilbert mit der Arbeit „Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems“ promovierte, sich 1910 habilitierte und bis 1913 als Privatdozent lehrte.

1913 heiratete er Helene Joseph aus Ribnitz, die später viele Werke des spanischen Philosophen José Ortega y Gasset übersetzte. Mit ihr hatte er zwei Söhne. Im gleichen Jahr erhielt er eine Professur für den Lehrstuhl der Geometrie an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich, wo er Albert Einstein kennenlernte, der zu jener Zeit (1916–1918) gerade seine Allgemeine Relativitätstheorie entwickelte, was Weyl zur intensiven Beschäftigung mit den mathematischen Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie und deren möglichen Erweiterungen (etwa zur Berücksichtigung der Elektrodynamik und eines Eichparameters), insbesondere aber mit der zugrunde liegenden Differentialgeometrie anregte.

1918 veröffentlichte er eines der ersten Lehrbücher der Allgemeinen Relativitätstheorie (neben Lehrbüchern von Max von Laue und Arthur Eddington), Raum, Zeit, Materie.

Einen Ruf nach Göttingen, die Nachfolge von Felix Klein anzutreten, schlug er aus. Erst 1930, nachdem Hilberts Lehrstuhl verwaist war, nahm er an: Hilberts Nachfolger zu werden, war für ihn eine Ehre, die er nicht ablehnen konnte. Jedoch fiel ihm der Wechsel von Zürich nach Göttingen nicht leicht, da er die politische Radikalisierung und den Aufstieg des Nationalsozialismus in der Weimarer Republik mit Besorgnis sah, wie er 1930 in einer Ansprache vor der Göttinger Mathematischen Verbindung zum Ausdruck brachte: „Nur mit einiger Beklemmung finde ich mich aus ihrer [der traditionell demokratischen Schweiz] freieren und entspannteren Atmosphäre zurück in das gähnende, umdüsterte und verkrampfte Deutschland der Gegenwart.[2] Zeit seines Lebens fühlte er sich demokratischen Idealen verpflichtet, und 1933 sah er sich außerstande, im von den Nationalsozialisten beherrschten Deutschland zu lehren, zumal seine Frau Jüdin war. In seinem aus Zürich am 9. Oktober 1933 abgeschickten Entlassungsgesuch an den neuen nationalsozialistischen Unterrichtsminister Bernhard Rust schrieb er: „Daß ich in Göttingen fehl am Platze bin, ist mir sehr bald aufgegangen, als ich im Herbst 1930 nach 17-jähriger Tätigkeit an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich dorthin als Nachfolger von Hilbert übersiedelte.“[2] Durch Vermittlung von Albert Einstein nahm er eine Stellung am Institute for Advanced Study in Princeton an, wo er bis 1951 wirkte. In Princeton starb 1948 seine Frau Helene, und er heiratete 1950 die Bildhauerin Ellen Bär aus Zürich, von der die Hermann-Weyl-Büste stammt, die in den Universitäten von Princeton, Zürich und Kiel zu seinem Gedenken steht. Seine letzten Lebensjahre verbrachte er vorwiegend in Zürich. 1955 erhielt er die Ehrenbürgerwürde seiner Geburtsstadt Elmshorn, kurz darauf verstarb er unerwartet in Zürich aufgrund eines Herzanfalls, den er beim Versenden von Post an einem Briefkasten erlitt.[3]

Weyl hieß bei engen Freunden Peter Weyl, zum Beispiel unter den Schrödingers. In Zürich hatte er ein Verhältnis mit Erwin Schrödingers Frau Anny, was an der Freundschaft mit Schrödinger nichts änderte, da die Schrödingers in offener Beziehung lebten.[4] Weyls Ehefrau Helene (genannt Hella) wiederum hatte in dieser Zeit eine offene Beziehung mit Paul Scherrer.

Werk[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weyl hat sich mit vielen Gebieten der Mathematik beschäftigt und schrieb mehrere Bücher und über 200 Zeitschriftenartikel.

Er begann als Analytiker, entsprechend den Interessen der Hilbertschule am Anfang des 20. Jahrhunderts (Integralgleichungen, Spektraltheorie), und habilitierte 1910 über singuläre Differentialgleichungen und ihre Entwicklung in Eigenfunktionen, die unter anderem in der mathematischen Physik wichtig sind (später „Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren“ genannt). 1915 (Rendicondi Circolo Mathematico di Palermo) bestimmte er die asymptotische Verteilung der Eigenwerte der Laplacegleichung und zeigte, dass der erste Term proportional dem Volumen ist, was die Physiker (unter anderem Hendrik Antoon Lorentz) bei der Untersuchung der Hohlraumstrahlung, die die ersten Zusammenhänge zwischen Quantenmechanik und klassischer Theorie lieferte, schon vermutet hatten. Andere Parameter außer dem Volumen spielen keine Rolle. Die allgemeine Frage, ob man aus dem Spektrum (den Eigenschwingungen) auf die geometrische Form eines Gebietes schließen kann, popularisierte Mark Kac in seinem Aufsatz „Can one hear the shape of a drum?“ (American Mathematical Monthly 1966).

Weniger bekannt ist, dass Weyl seinen Zürcher Kollegen Erwin Schrödinger nicht unwesentlich bei dessen grundlegenden Aufsatz zur quantentheoretischen Wellenmechanik unterstützte, indem er ihm den Weg zur Lösung der Schrödingergleichung beim Wasserstoffatom wies.[5]

1913 veröffentlichte er das Buch Die Idee der Riemannschen Fläche, in dem die vorher eher heuristisch eingebrachten topologischen Methoden strenger behandelt wurden und das moderne Konzept der Mannigfaltigkeiten erstmals systematisch eingesetzt wurde.

Seit seinem Buch über die Allgemeine Relativitätstheorie war Weyl an Verbindungen zur Physik stark interessiert. Er formulierte die zugrundeliegende Differentialgeometrie allgemeiner und flexibler unter Einführung eines affinen Zusammenhangs. In Raum, Zeit, Materie und in seinem Aufsatz Gravitation und Elektrizität von 1918 führt er erstmals das Konzept einer Eichtheorie ein, jedoch zunächst nicht in der heutigen Form, sondern durch einen lokal veränderlichen Skalenfaktor. Die Idee dahinter war, dass bei Paralleltransport eines Vektors längs einer geschlossenen Kurve nicht nur die Richtung verändert wird (was durch die Krümmung ausgedrückt wird), sondern auch die Länge veränderlich sein konnte. Er hoffte so die Elektrodynamik in die Theorie einzubinden. Als die Elektrodynamik umfassende Erweiterung der Theorie wurde sie schnell von Einstein als den Experimenten widersprechend verworfen. Das Buch Raum, Zeit, Materie entwickelt systematisch den Riccischen Tensorkalkül und benutzt die Parallelverschiebung (von Levi-Civita eingeführt) von Vektoren als fundamentalen Begriff.

Weyl ist der Begründer der Eichtheorien im heutigen Sinn, in einer Arbeit von 1929, mit Eichtransformationen als Phasenfaktoren der quantenmechanischen Wellenfunktionen.[6]

Die Analyse von Riemanns und Helmholtz' Ideen zu den Raumformen, die unter „vernünftigen“ physikalischen Voraussetzungen möglich sind, griff Weyl in seinen spanischen Vorlesungen Die mathematische Analyse des Raumproblems 1920 auf. Dies führte ihn zu Anwendungen der Gruppentheorie, aus der sich seine Beschäftigung mit kontinuierlichen Gruppen entwickelte (Lie-Gruppen).

Seine wichtigsten Arbeiten (Mathematische Zeitschrift Bd. 23, 24, 1925/1926) sind vielleicht in der Theorie der Lie-Gruppen zu sehen, deren Darstellungstheorie er untersucht, wobei er globale Konzepte wie Mannigfaltigkeiten einbringt, statt der bis dahin überwiegenden lokalen Aspekte der Lie-Algebra. Beispielsweise erklärte er erstmals die Spinoren aus der Topologie der Drehgruppe. Außerdem schlägt er hier eine Verbindung zu den Methoden der von Frobenius und Schur entwickelten Darstellungstheorie endlicher Matrixgruppen vor. Weyl gibt eine allgemeine Formel („Weyl-Charakterformel“) für die Charaktere der irreduziblen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen, indem er die schon von Cartan und Wilhelm Killing untersuchten Lie-Algebren mit Spiegelungsgruppen, den Weyl-Gruppen, untersucht.

Ein weiteres wichtiges Resultat seiner Arbeit ist der Satz von Peter-Weyl (Mathematische Annalen 1927), den er zusammen mit seinem Studenten Fritz Peter (1899–1949) formulierte.[7] Sind Sinus und Kosinus orthogonale Funktionensysteme in Bezug auf die Translationsgruppe in einer Dimension, so gibt es solche für allgemeine kompakte Lie-Gruppen G (bei denen ein invariantes (Haar-)Maß als Integral über die Gruppenelemente definiert werden kann). In diesem Funktionenraum, einem Hilbertraum, sind nach dem Peter-Weyl-Theorem die Darstellungen der Gruppe G durch irreduzible Darstellungen der unitären Gruppe gegeben.

In Gruppentheorie und Quantenmechanik gab er 1928 (etwas vor den Büchern von Bartel Leendert van der Waerden und Eugene Wigner) eine Darstellung der gruppentheoretischen Aspekte (und allgemein der mathematischen Aspekte) der Quantenmechanik, speziell der Darstellungstheorie der unitären und orthogonalen Gruppen (die wiederum nach Schur mit denen der symmetrischen Gruppe zusammenhängen). Im Buch The classical groups von 1939 erweiterte er dies auf alle klassischen Gruppen und schuf die Verbindung zur klassischen Invariantentheorie, einem wichtigen Teil der Algebra des 19. Jahrhunderts.

Zusammen mit seinem Sohn Fritz Joachim Weyl veröffentlichte er 1943 das Buch Meromorphic functions and analytic curves, in dem die Nevanlinnasche Wertverteilungstheorie meromorpher Funktionen auf analytische Kurven verallgemeinert wird.

Seit seinem Studium bei Hilbert war Weyl an Zahlentheorie interessiert (nach eigener Angabe verbrachte er mit dem Studium von Hilberts Zahlbericht in den Semesterferien die glücklichsten Monate seines Lebens). Beispielsweise veröffentlichte er in den Mathematischen Annalen 1916 einen Aufsatz über analytische Zahlentheorie „Gleichverteilung der Zahlen mod 1“. Darin zeigte er, dass die Nachkommastellen der Vielfachen einer irrationalen Zahl nicht nur im Intervall [0,1] dicht liegen, wie Kronecker bewies, sondern gleichverteilt sind. Sie lassen sich also gut als Zufallszahlen verwenden.

Weyls erste Reaktion auf die logischen und mengentheoretischen Antinomien, die Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik aufrüttelten, war sein Buch Das Kontinuum von 1918. Obwohl er in einem Aufsatz von 1910 Beiträge zur axiomatischen Mengenlehre leistete, war er ab 1917 zunehmend kritisch der Mengenlehre gegenüber eingestellt und ihrer Rolle als Grundlage der Analysis[8], wo er tiefliegende Zirkelschlüsse vermutete, und wollte in der Grundlegung wie Henri Poincaré zu elementaren Konzepten wie den natürlichen Zahlen und wenigen logischen Prinzipien zurückkehren. Wenig später wandte er sich in einem Aufsatz, der große Aufmerksamkeit fand (Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Jahresbericht DMV, 1921) dem Intuitionismus von Luitzen Egbertus Jan Brouwer zu und damit gegen das Programm seines Lehrers David Hilbert zu einer axiomatischen Grundlegung der Mathematik auf Basis der Mengenlehre. Weyl hatte den Intuitiomismus aus persönlichen Diskussionen mit Brouwer beim Urlaub in der Schweiz 1919 kennen, nachdem Brouwer ihn in relativer Isolation im Ersten Weltkrieg entwickelt hatte.[9] Dabei schlug Weyl in seinem Aufsatz einen kämpferischen Ton ein, der Bezüge zu den politischen Umwälzungen nach dem Ersten Weltkrieg herstellte. Hilbert war darüber irritiert, er sah im Intuitionismus mit seinen Einschränkungen für die mathematische Forschung einen Rückschritt (beispielsweise lehnte der Intuitionismus Existenzbeweise ab) und fühlte sich an die apodiktisch verkündete Reduzierung der Mathematik auf die Arithmetik und Ablehnung der Mengenlehre durch Leopold Kronecker in seiner Jugendzeit erinnert. Während Brouwer damals wenig beachtet wurde, war Weyls Aufsatz Auslöser des Grundlagenstreits der Mathematik zwischen Intuitionisten und Formalisten, zumal Weyl ein prominenter Vertreter der Hilbert-Schule war. Weyl kam später wieder vom Intuitionismus ab, den er für zu einschränkend hielt. Er näherte sich wieder seinen Zugang von 1918 und schwankte zwischen Konstruktiver Mathematik und der Axiomatik der Hilbert-Schule.

Weyl war philosophisch interessiert seit seiner Jugend, als er Immanuel Kants Kritik der reinen Vernunft las mit Raum und Zeit als a priori Konzepte der Erkenntnis (auch wenn ihm später die zu enge Bindung an die euklidische Geometrie bei Kant missfiel). Ab 1912 war er stark von Edmund Husserl und dessen Phänomenologie beeinflusst, was sich auch in einigen Stellen seines Buches Raum, Zeit, Materie niederschlug. 1927 erschien sein Beitrag zum Handbuch der Philosophie im Oldenbourg Verlag Philosophie der Mathematik und der Naturwissenschaften, das später separat und überarbeitet als Buch erschien.

Im Buch Symmetrie gibt er eine populäre Darstellung des Gruppenkonzepts, von Schneekristallen, Ornamenten (Gruppen aus ebenen Translationen und Spiegelungen/Drehungen) bis zur Symmetrie von Gleichungen unter Vertauschung der Wurzeln (Galoistheorie).

Preise und Ehrungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schriften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Idee der Riemannschen Fläche, Teubner 1997 (zuerst 1913, in Neuauflage mit Beiträgen von Patterson, Hulek, Hildebrandt, Remmert, Schneider; Hrsg: R. Remmert: TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik, Suppl. 5, 1997) weiss-leipzig.de.
  • Raum, Zeit, Materie – Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie, 8. Auflage, Springer 1993 (zuerst 1918, 5. Auflage 1922) Online.
  • Das Kontinuum – kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis, Leipzig, von Veit und Comp., 1918 Online.
  • Gravitation und Elektrizität, Sitzungsberichte Preuss. Akademie der Wiss., Januar-Juni 1918, S. 465 (wieder abgedruckt in Lorentz, Einstein, Minkowski Das Relativitätsprinzip).
  • Was ist Materie? – Zwei Aufsätze zur Naturphilosophie, Springer, Berlin 1924.
  • Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, München: Oldenbourg Verlag 1927 [= Handbuch der Philosophie, hrsg. von Alfred Baeumler und Manfred Schröter, Teil A], 6. Auflage, München: Oldenbourg Verlag 1990.
  • Gruppentheorie und Quantenmechanik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft 1977 (Nachdruck der 2. Auflage 1931, zuerst Leipzig, Hirzel 1928).
  • The classical groups – their invariants and representations, Princeton University Press 1939, 1946, 1961.
  • Elementary theory of invariants, Institute for Advanced Study 1936.
  • Meromorphic functions and analytic curves, Princeton University Press 1943.
  • Symmetrie, Birkhäuser 1955, 1981 (zuerst 1952, Princeton).
  • Selecta Hermann Weyl, Birkhäuser Verlag (ausgewählte Aufsätze) 1956.
  • Algebraische Zahlentheorie, BI Hochschultaschenbuch 1966.
  • Gesammelte Abhandlungen, 4 Bde., Hrsg. K. Chandrasekharan, Springer Verlag 1968.
  • Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkung und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie, Springer 1988.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • K. Chandrasekharan (Hrsg.): Weyl centennary symposium, 1885–1985, Springer 1986 (darin: Chen Ning Yang Weyl’s contribution to physics, Roger Penrose Weyl, spacetime and conformal geometry, Armand Borel Weyl and Lie groups, Memorabilia, Publikationsliste).
  • Wolfgang Deppert, Kurt Hübner, Arnold Oberschelp, Volker Weidemann (Hrsg.), Exact Sciences and their Philosophical Foundations/Exakte Wissenschaften und ihre philosophische Grundlegung. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985, Peter Lang Verlag, Frankfurt am Main/Bern/New York/Paris 1988, ISBN 3-8204-9328-X.
  • Jean Dieudonné: Artikel Weyl in Dictionary of Scientific Biography.
  • Günther Frei, Urs Stammbach: Hermann Weyl und die Mathematik an der ETH Zürich 1913–1930, Birkhäuser, Basel 1991.
  • Hans Freudenthal: Hermann Weyl. Der Dolmetscher zwischen Mathematikern und Physikern um die moderne Interpretation von Raum, Zeit und Materie. in: Forscher und Wissenschaftler im heutigen Europa, 1 Hgg. Hans Schwerte & Wilhelm Spengler, Stalling, Oldenburg 1955, S. 357–366.
  • Claus Müller: Hermann Weyl zum 100. Geburtstag, Jahresbericht des Deutschen Mathematikervereins (DMV) 1986.
  • Peter Pesic (Herausgeber), Hermann Weyl: Levels of Infinity: Selected Writings on Mathematics and Philosophy, Dover Publications, 2013, ISBN 0-486-48903-5.
  • Peter Pesic (Hrsg.), Hermann Weyl: Mind and Nature: Selected Writings on Philosophy, Mathematics, and Physics. Princeton University Press, Princeton, N.J., 2009, ISBN 978-0-691-13545-8.
  • Nils Röller: Medientheorie im epistemischen Übergang – Hermann Weyls Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft und Ernst Cassirers Philosophie der symbolischen Formen. Verlag und Datenbank für Geisteswissenschaften, Weimar 2002, ISBN 3-89739-275-5.
  • David E. Rowe: Hermann Weyl, the Reluctant Revolutionary, Mathematical Intelligencer, Bd. 25, 2003, Nr. 1, S. 61–70.
  • Erhard Scholz (Herausgeber): Hermann Weyl’s Raum-Zeit-Materie and a general introduction to his scientific work, Birkhäuser 2001 (DMV Seminar Band 30), darin:
    • Skuli Sigurdsson Journeys into spacetime, Hubert Goenner Weyl’s contributions to cosmology, Scholz Weyls Infinitesimalgeometrie 1917-1925, Norbert Straumann Ursprünge der Eichtheorien, Robert Coleman, Herbert Korté Hermann Weyl, Mathematician, Physicist, Philosopher (S. 161–388), Weyl Bibliographie.
  • Peter Slodowy: The early development of the representation theory of semisimple Lie groups – Hurwitz, Schur, Weyl, Jahresbericht DMV 1999.
  • Katrin Tent (Hrsg.): Groups and Analysis. The legacy of Hermann Weyl, Cambridge University Press 2008.
  • André Weil, Claude Chevalley: Hermann Weyl, L'Enseignement mathématique, 1957, S. 157.
  • R. O. Wells, Jr. (Hrsg.): The mathematical heritage of Hermann Weyl- proceedings of a symposium at Duke University 1987, American Mathematical Society 1988.
  • John Archibald Wheeler: Hermann Weyl and the unity of knowledge, American Scientist Juli 1986.

Online zugängliche Aufsätze:

Einige Online-Aufsätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Vgl. Bernd Elsner, Die Abiturarbeit Hermann Weyls. In: Christianeum. Jg. 63, H. 1, 2008, S. 3–15.
  2. a b Hermann Weyl, Gesammelte Abhandlungen, Band IV, S. 651–654, Springer-Verlag 1968 [zitiert nach: Norbert Schappacher: Das Mathematische Institut der Universität Göttingen 1929 – 1950; in: Becker, Dahms, Wegeler (Hrsg.), Die Universität Göttingen unter dem Nationalsozialismus, München (K.G. Saur) 1987, 345–373 – zweite erweiterte Ausgabe: München (K.G. Saur) 1998, 523–551. Volltext (PDF; 4,5 MB)].
  3. Brief von Wolfgang Pauli an Max Born, 11. Dezember 1955. Abgedruckt in Karl von Meyenn (Herausgeber) Wolfgang Pauli, Wissenschaftlicher Briefwechsel, Band IV, Teil III, Springer Verlag 2001, S. 442
  4. Walter Moore A Life of Schrödinger, Cambridge University Press 1994, S. 111, 115 (zum Namen Peter), S. 128 (Verbindung Weyl-Anny Schrödinger)
  5. Schrödinger bedankt sich in einer Fußnote zu Quantisierung als Eigenwertproblem, Teil 1, Annalen der Physik, Band 79, 1926, S. 363, ausdrücklich bei Weyl
  6. Weyl: Elektron und Gravitation, Zeitschrift für Physik, Bd.56, 1929, S. 330–352
  7. Fritz Peter wurde später Leiter einer Schule. Yvette Kosmann-Schwarzbach: Groups and Symmetries. Springer, S. 43.
  8. Solomon Feferman: The significance of Hermann Weyl „Das Kontinuum“. In: V. F. Hendricks: Proof theory. Kluwer 2000, S. 179–194, Online
  9. Dirk van Dalen: Hermann Weyl’s intuitionistic mathematics, Bulletin of Symbolic Logic, Band 1, S. 145–169.
  10. Vgl. Wolfgang Deppert, Kurt Hübner, Arnold Oberschelp, Volker Weidemann (Hrsg.): Exact Sciences and their Philosophical Foundations. Exakte Wissenschaften und ihre philosophische Grundlegung. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985. Lang, Frankfurt am Main 1988. Inhalt

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Hermann Weyl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wikiquote: Hermann Weyl – Zitate