Schnelle Wavelet-Transformation

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Die Schnelle Wavelet-Transformation ist ein effizientes Verfahren zur Berechnung einer diskreten Wavelet-Transformation. Sie kann mit der Anwendung der schnellen Fourier-Transformation zur Berechnung der Koeffizienten einer Fourier-Reihe verglichen werden.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analyse-Filterbank,
Rekursive Anwendung einer Analyse-Filterbank

Ein gegebenes kontinuierliches Signal wird zunächst durch orthogonale Projektion auf einen Unterraum einer orthogonalen Multiskalenanalyse in eine zeitdiskrete Koeffizientenfolge umgewandelt. Je größer ist, desto genauer ist die dadurch erzielte Approximation. In vielen Fällen ist es ausreichend,

zu setzen. Nun wird rekursiv aus jedem Tiefpasssignal ein neues Tiefpasssignal

und das Bandpasssignal

erzeugt. Zusammen bilden diese eine Analyse-Filterbank, die Operationen darin werden weiter unten erklärt.

Nach Schritten der Rekursion ergeben sich die Folgen

  und   .

Das Ziel dieser Transformation ist, dass die „dünn“ besetzt sind und sich daher gut komprimieren lassen.

Sind die Filter und ausreichend frequenzselektiv, war das Ausgangssignal bandbeschränkt und wurde dem WKS-Abtasttheorem entsprechend die erste Koeffizientenfolge gewonnen, so enthält das erste Tiefpassergebnis alle Signalbestandteile bis zur halben Nyquist-Frequenz, das Bandpassergebnis die darüberliegenden, beide Male mit einer der Bandbreite entsprechenden Abtastrate.

Analyse und Synthese[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Fischgrätenzerlegung in der Multiskalenanalyse entspricht eine aus dem Tiefpass und dem Bandpass zusammengesetzte zeitdiskrete Filterbank, es wird ein zeitdiskretes Signal aufgeteilt in ein hohes Band und ein tiefes Band (Faltung von Folgen). Danach werden beide Signale heruntergetaktet (englisch downsampling) zu

  und   .

Mit sei dabei die zeitinvertierte Folge

bezeichnet. Das Heruntertakten einer Folge bedeutet, dass eine neue Folge aus den Gliedern mit geradem Index gebildet wird,

.

Alle diese Operationen zusammengefasst ergibt sich eine gliedweise Berechnungsvorschrift der Analyse-Filterbank

  und   .

Aus der Orthogonalität ergibt sich, dass das Ausgangssignal zurückgewonnen werden kann, zuerst werden die Tiefpass- und Bandpassanteile und in der Abtastrate hochgerechnet, dies wird als Upsampling bezeichnet, mit den Skalierungs- und Waveletmasken gefaltet und dann addiert,

oder koeffizientenweise

.

Der Übergang von zu heißt Analyse, der inverse Synthese. Es ist ersichtlich, dass die Transformierte eines endlichen Signals nun etwa genauso viele Samples wie das Signal selbst hat, also genauso viel Information enthält.

Erweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist nicht erforderlich, dass die Folgen in der Analyse-Filterbank mit denen in der Synthese-Filterbank wie oben übereinstimmen, nur ist dann nicht garantiert, dass die Kombination beider Filterbänke das Ausgangssignal rekonstruiert. Ist dies doch der Fall, spricht man von vollständiger Rekonstruktion (englisch perfect reconstruction) oder von Biorthogonalität der Wavelet-Basen.