Die Selberg-Delange-Methode ist eine Technik aus der analytischen Zahlentheorie. Sie dient dazu, die mittlere Ordnung einer zahlentheoretischen Funktion zu bestimmen. Sie ist nach Atle Selberg und Hubert Delange benannt.
Seien
Ist nun
eine Dirichlet-Reihe mit Konvergenzhalbebene
, so gehört diese zur Klasse
, falls die Dirichlet-Reihe
![{\displaystyle G(s;z):=F(s)\zeta (s)^{-z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648923bf8767f9312ff3922db87291010fe00134)
eine auf dem ganzen Gebiet
holomorphe Funktion darstellt und dort außerdem der Ungleichung
![{\displaystyle |G(s;z)|\leq M(1+|\operatorname {Im} (s)|)^{1-\delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38834c056c22f0a5f64d1a013db2d4b048944d73)
genügt. Hierbei bezeichnet
die Riemannsche Zeta-Funktion. Existiert nun eine Folge
mit
und die Reihe
gehört zur Klasse
, so liegt
per Definition sogar in der Klasse
Dann lässt sich die folgende modifizierte Funktion im Ursprung lokal als Taylor-Reihe schreiben:
![{\displaystyle {\frac {s^{z}F(s+1)}{s+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }\mu _{k}(z)s^{k},\quad |s|<\min\{c_{0},1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144b182b944e7c9fec16b66b68d136b9b7e4d279)
Liegt
in der Klasse
, so gilt bereits für
:[1]
![{\displaystyle \sum _{n\leq x}a(n)=x(\log x)^{z-1}\left(\sum _{0\leq k\leq N}{\frac {\mu _{k}(z)}{\Gamma (z-k)(\log(x))^{k}}}+O\left(M\left(\mathrm {e} ^{-c_{1}{\sqrt {\log(x)}}}+\left({\frac {c_{2}N+1}{\log(x)}}\right)^{N+1}\right)\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf1008b1e316869c8be55a21f787bd93bccbab2)
Hierbei hängen die positiven Konstanten
und die implizite Konstante im Landau-Symbol höchstens von der Wahl von
und
ab. Ein wichtiger Spezialfall ist
. Dann folgt
, wann immer
gilt. Dies ermöglicht es,
so zu wählen, dass der Fehlerterm minimiert wird. Etwa erreicht man mit der Wahl von
die Aussage
![{\displaystyle \sum _{n\leq x}a(n)=x(\log(x))^{z-1}\left(\sum _{0\leq k\leq z-1}{\frac {\mu _{k}(z)}{\Gamma (z-k)(\log(x))^{k}}}+O\left(M\mathrm {e} ^{-c_{1}{\sqrt {\log(x)}}}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94240316463b211748670f560e1ba90195a153d9)
Vorteile der Selberg-Delange-Methode sind die recht explizite Angabe eines Fehlerterms sowie die fehlende Notwendigkeit, dass die
stets nicht-negativ sein müssen. Jedoch kann die geforderte vertikale Abschätzung (die nicht weggelassen werden kann!) eine Hürde darstellen. Werden also weniger detaillierte Angaben über die mittlere Ordnung gebraucht, kann man auch auf Taubersätze zurückgreifen, die bereits unter deutlich schwächeren Annahmen gelten, jedoch keine Abschätzung der Fehlerterme zulassen.
- ↑ Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory. AMS, Rhode Island 1990, S. 281.