Sherman-Morrison-Woodbury-Formel

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Die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel (nach Jack Sherman, Winifred J. Morrison und Max A. Woodbury)[1][2][3][4][5] der linearen Algebra gibt eine explizite Darstellung der Inversen einer regulären Matrix nach einer Änderung von niederem Rang. Dies ist beispielsweise bei Quasi-Newton-Verfahren und beim Basiswechsel im Simplex-Verfahren interessant.

In numerischen Verfahren kann die Verwendung der Formel zu Stabilitätsproblemen führen, weswegen Alternativen zu bevorzugen sind.

Änderung vom Rang 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit zwei Vektoren ist das Produkt eine -Matrix und besitzt den Rang 1.

Für gilt

Dies prüft man elementar nach.

Die Formel überträgt sich direkt auf Rang-1-Änderungen einer beliebigen, regulären -Matrix :

Für gilt

Dabei ergibt sich, dass die Matrix genau dann invertierbar ist, wenn der Nenner in obiger Formel nicht verschwindet.

Änderung vom Rang k[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für zwei -Matrizen verallgemeinert sich die Formel in folgender Weise:

Die -Matrix sei regulär, dann gilt

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jack Sherman, Winifred J. Morrison: Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to Changes in the Elements of a Given Column or a Given Row of the Original Matrix (abstract). In: Annals of Mathematical Statistics. 20, 1949, S. 621. doi:10.1214/aoms/1177729959.
  2. Jack Sherman, Winifred J. Morrison: Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in One Element of a Given Matrix. In: Annals of Mathematical Statistics. 21, Nr. 1, 1950, S. 124–127. doi:10.1214/aoms/1177729893.
  3. Max A. Woodbury: Inverting modified matrices. In: Statistical Research Group (Hrsg.): Memorandum Report 42. Princeton University, Princeton, NJ 1950.
  4. Max A. Woodbury: The Stability of Out-Input Matrices. Chicago 1949.
  5. William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31, Nr. 2, 1989, S. 221–239. doi:10.1137/1031049.