Sierpiński-Raum

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Der Sierpiński-Raum ist ein topologischer Raum, bestehend aus zwei Punkten, in dem exakt eine Menge offen und nicht zugleich abgeschlossen ist. Es handelt sich um den kleinsten Raum mit nicht diskreter und nicht trivialer Topologie.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die dem Sierpiński-Raum zugrundeliegende Punktmenge ist ; seine offenen Mengen sind und .

Beziehung zu anderen topologischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine beliebige Menge, und eine zweielementige Menge, dann entspricht jeder Funktion eine Teilmenge , und umgekehrt.

Eine zu analoge Rolle übernimmt im Fall von stetigen Funktionen und offenen Teilmengen. Sei ein beliebiger topologischer Raum. Für eine stetige Funktion gilt nach der Definition für stetige Funktionen, dass die Urbilder offener Mengen offen sind. und . Ein interessantes Ergebnis liefert . Dies ist nämlich eine offene Teilmenge von und wird durch das stetige eindeutig bestimmt.

Der Sierpiński-Raum ist Kogenerator der Kategorie der Kolmogorow-Räume: Sind stetige Abbildungen zwischen zwei Kolmogorow-Räumen und mit , so existiert eine stetige Abbildung , sodass : Sei hierfür mit , so ist zumindest durch eine offene Umgebung von getrennt, oder umgekehrt (da ein Kolmogorow-Raum ist). Dann liefert das gewünschte . Tatsächlich sind die Kogeneratoren der Kategorie der Kolmogorow-Räume gerade alle Kolmogorow-Räume, die einen Unterraum enthalten, der homöomorph zu ist.[1]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dieter Pumplün: Elemente der Kategorientheorie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 1999, ISBN 3-86025-676-9, S. 80.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]