Triviale Topologie

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Die triviale Topologie[1], indiskrete Topologie[2], chaotische Topologie[3] oder Klumpentopologie[4] ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur für eine Menge, die diese zu einem topologischen Raum macht.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Menge. Die triviale Topologie auf ist die Topologie, bei der nur die Menge und die leere Menge offen sind.[4]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum versehen mit der trivialen Topologie.

  • Alle Punkte in sind topologisch ununterscheidbar.
  • Entsprechend der Definition sind nur die leere Menge und die ganze Menge abgeschlossen.
  • Der Raum ist kompakt und somit insbesondere parakompakt, lindelöf und lokalkompakt.
  • Der Raum ist wegzusammenhängend, denn jede Abbildung eines topologischen Raums nach ist stetig, und somit auch zusammenhängend.
  • Die triviale Topologie ist die gröbste aller Topologien auf einer gegebenen Menge, insbesondere ist jede Abbildung von einem topologischen Raum in eine triviale Topologie stetig.
  • Die triviale Topologie besitzt alle üblichen Trennungseigenschaften, sofern sie nicht T₀ voraussetzen, und ist pseudometrisierbar durch die Pseudometrik, die beliebigen zwei Punkten den Abstand 0 zuordnet.
  • Jeder Filter konvergiert in der trivialen Topologie gegen jeden Punkt, dies charakterisiert die triviale Topologie.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Triviale Topologie. In: Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2002, ISBN 3-8274-0437-1.
  2. Lothar Tschampel: BUCHMAT. 3.A: Topologie 1. Allgemeine Topologie. Version 2. Buch-X-Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-934671-60-7.
  3. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 13., durchgesehene Auflage. Band 2. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-62232-7, S. 210.
  4. a b Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, S. 9.