Singleton-Schranke

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Die Singleton-Schranke bezeichnet eine obere Schranke für die Mindestdistanz eines Blockcodes der Länge bei Informationswörtern der Länge über einem einheitlichen Alphabet .

Sie lautet:

Die Schranke kann auf folgende Art intuitiv klargemacht werden:

  • Annahme: Alphabet
  • Anzahl der möglichen Informationswörter :
  • Anzahl der Codewörter:
  • Mindestdistanz:

Streicht man nun in den Codewörtern jeweils die letzten () der Stellen, so haben die übrigen Codewörter zueinander immer noch mindestens den Hamming-Abstand 1. Bei Streichungen wäre dies nicht mehr gewährleistet. Damit sind immer noch alle Codewörter unterschiedlich, also

Deswegen muss auch die Anzahl der durch die Länge erzeugbaren Wörter sein. Stellt man diese Gleichung um, ergibt sich daraus die Singleton-Schranke

Für nicht-lineare Codes gilt entsprechend

,

wobei .

Codes, die die Singleton-Schranke mit Gleichheit erfüllen, nennt man auch MDS-Codes.

Beziehung zur Hamming-Schranke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Falle der Hamming-Schranke ist die Anzahl der maximal korrigierbaren Fehler eines Codes mit der Hamming-Distanz .

Die Hamming-Schranke sagt aus, dass

,

beziehungsweise

erfüllt sein muss für einen Code, der mittels Symbolen eines Alphabets der Größe eine Nachricht mit der Länge transportiert.

Für zum Beispiel und (erfordert eine Hamming-Distanz von ) erhält man in Abhängigkeit der Größe des Alphabets :

Die Hamming-Schranke macht vergleichsweise genaue Aussagen in Abhängigkeit von , und . Für sehr große strebt sie einem Grenzwert zu.

Im Falle der Singleton-Schranke ist die Anzahl der maximal korrigierbaren Fehler eines Codes mit der Mindestdistanz .

Für zum Beispiel und (erfordert eine Mindestdistanz von ) erhält man:

unabhängig von . Die Singleton-Schranke ist eine ungenauere Abschätzung als die Hamming-Schranke, die die Größe des Alphabets nicht berücksichtigt. Weiterhin gibt es Unterschiede in der Beziehung zwischen und .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • J.H. van Lint: Introduction to Coding Theory (Graduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-54894-2.