Skalenelastizität

Die Skalenelastizität ist eine grundlegende Größe in der Produktionstheorie. Sie gibt an, um wie viel Prozent sich die Produktionsmenge (Output) erhöht, wenn die Einsatzmengen aller Produktionsfaktoren (Inputs) um ein Prozent erhöht werden.

Bei einer Skalenelastizität größer eins bewirkt ein proportionaler Mehreinsatz aller Produktionsfaktoren eine überproportionale Steigerung der Produktionsmenge (positive Skaleneffekte, steigende Skalenerträge). Bei einer Skalenelastizität von eins ist die Outputsteigerung entsprechend proportional (konstante Skalenerträge), und bei einer Skalenelastizität kleiner als eins steigt die Produktionsmenge nur unterproportional (negative Skaleneffekte, sinkende Skalenerträge).

Definition

Die Skalenelastizität $\lambda$ ist definiert als die Elastizität der Produktionsmenge $y=y(x_{1},\ldots ,x_{n})$ bzgl. des Faktors $k$, mit dem die gesamte Produktion skaliert wird:

$\lambda =\varepsilon _{y,k}={\frac {\mathrm {d} y(kx_{1},\ldots ,kx_{n})}{\mathrm {d} k}}\cdot {\frac {k}{y(kx_{1},\ldots ,kx_{n})}}$.

Skalenelastizität bei homogenen Funktionen

Ist die Produktionsfunktion $y=y(x_{1},\ldots ,x_{n})$ homogen vom Grad $r$, das heißt gilt

$y(kx_{1},\ldots ,kx_{n})=k^{r}y(x_{1},\ldots ,x_{n})$,

so entspricht die Skalenelastizität dem Homogenitätsgrad: $\lambda =r$. Hieraus folgt insbesondere, dass die Skalenelastizität einer linear homogenen Produktionsfunktion gleich eins ist.

Außerdem ist sie gleich der Summe der Produktionselastizitäten $\sigma _{i}$ der Produktionsfaktoren $x_{i}$:

$\lambda =\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}\cdot {\frac {x_{i}}{y}}$.

Dieser Zusammenhang erlaubt es, die Skalenelastizität aus den Produktionselastizitäten zu berechnen.

Beispiele

Bei der CES-Produktionsfunktion lässt sich die Skalenelastizität unmittelbar als Summe der Exponenten der Inputmengen (z. B. Arbeit A und Kapital K) ablesen. Insbesondere gilt dies für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, die zu den CES-Produktionsfunktionen gehört.

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  Abb. 1: Skalenelastizität kleiner 1
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  Abb 2: Skalenelastizität gleich 1
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  Abb. 3: Skalenelastizität größer 1

Literatur

• Susanne Wied-Nebbeling, Hartmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg, ISBN 3-540-22683-4, S. 111–115 und S. 322 f.