Spektraler Raum
Ein spektraler Raum ist ein topologischer Raum, der homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes ist. Spektrale Räume sind ein wichtiger Gegenstand der modernen algebraischen Geometrie.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei ein topologischer Raum. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
- ist nüchtern, (quasi-)kompakt, der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen ist kompakt und die Menge der kompakten offenen Teilmengen bildet eine Basis der Topologie;[1]
- ist homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes;
- ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher Kolmogoroff-Räume;[2]
- ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher nüchterner Räume.[3]
In diesem Fall nennen wir spektral.
Besitzt jeder Punkt eines Raumes eine offene Umgebung, die in der Teilraumtopologie spektral ist, so heißt lokal spektral.[4]
Ein topologischer Raum, für den der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen wieder kompakt ist, heißt semispektral.[5]
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Jeder Stone-Raum ist spektral, denn jeder diskrete Raum ist Kolmogoroff.
- Für jeden kommutativen Ring ist spektral.
- Für jeden kommutativen Ring ist das Bewertungsspektrum spektral.[6]
- Jedes Schema ist lokal spektral.
Spektrale Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Abbildung zwischen spektralen Räumen heißt spektral, falls für jede offene kompakte Teilmenge das Urbild kompakt ist. Die Komposition spektraler Abbildungen ist wieder spektral.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Jeder abgeschlossene Teilraum eines spektralen Raumes ist spektral. Das folgt daraus, dass abgeschlossene Unterschemata affiner Schemata wieder affin sind.
- Das Produkt zweier spektraler Räume ist spektral.[7]
Unterliegende Räume von Schemata[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Mithilfe dieser Definitionen ist es möglich, eine Charakterisierung topologischer Räume zu geben, die Schemata zugrunde liegen. Für einen topologischen Raum sind äquivalent:[8]
- ist der unterliegende Raum eines Schemas;
- ist lokal spektral und semispektral;
- ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines spektralen Raumes;
- ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines affinen Schemas.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Melvin Hochster (1969). Prime ideal structure in commutative rings. Trans. Amer. Math. Soc., 142 43—60
- Stacks project: Tag 08YG
- Wedhorn: Adic spaces