Basis (Topologie)

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Eine Subbasis in einem topologischen Raum ist ein System von offenen Mengen, das die Topologie eindeutig beschreibt. Ist dieses System (im unten definierten Sinne) auch noch abgeschlossen bezüglich der endlichen Schnittmengenbildung, dann spricht man von einer Basis des Topologischen Raums. Eine lokale Variante ist der Begriff Umgebungsbasis.

Topologische Räume, die abzählbare Umgebungsbasen bzw. Basen haben, erfüllen das erste bzw. zweite Abzählbarkeitsaxiom. Sie können im topologischen Sinn als „klein“ gelten.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basis einer Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein System von Teilmengen eines Topologischen Raumes heißt Basis der Topologie, auch topologische Basis, wenn
  1. jede Menge aus offen bezüglich ist (d.h. eine Teilmenge von ist) und
  2. jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus darstellen lässt, wenn man definiert, dass die leere Vereinigung die leere Menge ist.
  • Umgekehrt kann man ein System von Teilmengen einer Menge mit den Eigenschaften
  1. Die Vereinigung aller Mengen aus ist die Gesamtmenge .
  2. Jede nichtleere Schnittmenge von zwei Mengen aus lässt sich auch als Vereinigungsmenge von Mengen aus darstellen.
zur eindeutigen Definition einer Topologie (die durch definierte Topologie) auf verwenden:
Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie sich als Vereinigungsmenge von Mengen aus darstellen lässt.

Subbasis einer Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein Mengensystem von Teilmengen einer Grundmenge

heißt Subbasis des Topologischen Raumes , wenn

gilt, wobei den Hüllenoperator bezeichnet, der die minimale Topologie über einem System von Teilmengen von erzeugt. Für gilt dann

Der Hüllenoperator liefert eine Topologie, da der Schnitt über beliebig viele Topologien wieder eine Topologie ist.

  • Umgekehrt kann jedes beliebige System von Teilmengen einer Menge zur Definition einer Topologie (der durch definierten Topologie) auf verwendet werden:
Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie sich als Vereinigungsmenge von endlichen Durchschnitten aus darstellen lässt, wenn man definiert, dass der leere Durchschnitt die Grundmenge ergibt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist eine Subbasis, dann bildet die Menge aller endlichen Durchschnitte von Mengen aus eine topologische Basis.
  • Jede topologische Basis von ist eine Subbasis von , der Basisbegriff verschärft also den Begriff Subbasis.
  • Der Begriff der topologischen Basis ist nicht zu verwechseln mit der Basis eines Vektorraumes, erstere ist eine Menge offener Mengen, zweitere eine Menge von Vektoren, im Falle topologischer Vektorräume also eine Menge von Punkten. Die Begriffe weisen insofern eine Parallele auf, dass beide die Gesamtstruktur in einem gewissen Sinne erzeugen, allerdings wird für eine topologische Basis in keiner Weise Minimalität gefordert.
  • Die Menge aller offenen Mengen eines topologischen Raums bildet eine Basis.
  • Ist für jeden Punkt aus des topologischen Raumes eine Umgebungsbasis aus offenen Mengen gegeben, so bildet die Vereinigung all dieser Umgebungsbasen eine Basis des topologischen Raumes .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge erzeugt als topologische Basis die indiskrete Topologie auf , in der nur die leere Menge und X offen sind.
  • Für das Mengensystem ist die erzeugte Topologie:
Somit ist eine Subbasis des Topologischen Raumes , aber keine topologische Basis.
  • Das System der einpunktigen Mengen eines Raumes definiert als topologische Basis die diskrete Topologie auf , in der alle Teilmengen von offen sind.
  • Ist offen, dann ist Umgebungsbasis von .
  • Für eine natürliche Zahl ist das Mengensystem der offenen Intervalle auf eine Basis der natürlichen Topologie auf .
  • In einem metrischen Raum bildet die Menge der ε-Umgebungen eines Punktes eine Umgebungsbasis von , die Menge aller ε-Kugeln eine Basis der durch die Metrik induzierten Topologie.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lokale Definition der Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der Umgebungsbasis erlaubt eine bequeme Charakterisierung der Stetigkeit: Sind und topologische Räume und ist eine Abbildung von nach , dann ist genau dann stetig im Punkt aus , wenn für Umgebungsbasen in bzw. in gilt:

Zu jeder Basismenge aus gibt es eine Basismenge aus , die von ganz in abgebildet wird.

Für den Spezialfall, in dem und metrische Räume sind und als Umgebungsbasen die ε-Umgebungen gewählt werden, ist dies die „ε-δ-Definition der Stetigkeit“, die in der elementaren Analysis gegenüber der allgemeineren topologischen Definition bevorzugt wird.

Initialtopologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der Subbasis erlaubt eine konstruktive Definition von Initialtopologien: Die Initialtopologie auf bzgl. einer Abbildung ist gerade die von der Subbasis der Urbilder offener Mengen in erzeugte Topologie.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]