Sphärensatz

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Dieser Artikel behandelt den Sphärensatz aus der riemannschen Differentialgeometrie. Für den Sphärensatz aus der Topologie siehe unter Sphärensatz (Topologie) nach.

Der Sphärensatz ist ein bedeutendes Resultat aus der globalen riemannschen Geometrie. Nach Vorarbeiten von Harry Rauch bewiesen Wilhelm Klingenberg und Marcel Berger diesen Satz im Jahr 1961.

Sphärensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Klassischer) Sphärensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine n-dimensionale, kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung

mit gilt. Dann ist homöomorph zur Sphäre.

Differenzierbarer Sphärensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erfüllt die riemannsche Mannigfaltigkeit beziehungsweise deren Schnittkrümmung dieselben Voraussetzungen wie im (klassischen) Sphärensatzes, so ist diffeomorph zur Sphäre, die mit der normalen differenzierbaren Struktur ausgestattet ist.

Entstehung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sphärensatz wurde von Harry Rauch im Jahr 1951 für bewiesen.[1] Wilhelm Klingenberg brachte dieses Problem mit dem Schnittort in Zusammenhang. In dem Fall, dass die Mannigfaltigkeit gerade Dimension hat und obige Ungleichung bezüglich der Schnittkrümmung erfüllt, war die Entfernung zum Schnittort größergleich (Lemma von Klingenberg). Mit dieser Aussage bewies Klingenberg den Sphärensatz für und gerade Dimension.[2] Mit Hilfe des Satzes von Toponogov und des gerade erwähnten Lemmas von Klingenberg bewies 1960 Marcel Berger den Sphärensatz für und gerader Dimension.[3] Im Jahr 1961 konnte Klingenberg das erwähnte Lemma auch für ungerade Dimension beweisen.[4] Der Beweis für ungerade Dimensionen ist ungleich komplizierter und verwendet Morsetheorie. Dies vollendete den Beweis des Sphärensatzes. Tsukamoto konnte zeigen, dass der Satz von Toponogov für den Beweis des Sphärensatzes nicht notwendig ist.

Im Jahr 2007 gelang es Simon Brendle und Richard Schoen zu beweisen, dass unter obigen Voraussetzungen die Mannigfaltigkeit sogar diffeomorph zur Sphäre ist.[5]

Hilfsaussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden noch einige Aussagen aufgezeigt, die wichtig für den Beweis des Sphärensatzes sind. Das hier als erstes angegebene Lemma von Klingenberg entspricht dem aus dem obigen Abschnitt.

Lemma von Klingenberg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung die Ungleichung

gilt. Dann folgt

wobei den kürzesten Abstand zu einem nächsten Schnittort meint. Dies nennt man auch den injektiven Radius von

Existenz von Hemisphären[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine n-dimensionale, kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung gilt, und seien , so dass gilt. Dann folgt

wobei den offenen geodätischen Ball mit Radius und mit Mittelpunkt bezeichnet. Die Funktion gibt den Durchmesser der riemannschen Mannigfaltigkeit an.

Existenz eines Äquators[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter den zur Existenz von Hemisphären gemachten Voraussetzungen existiert für jede Geodätische mit der Länge und mit Startpunkt ein eindeutiger Punkt , so dass

gilt. Genauso gilt für jede Geodätische mit Startpunkt und Länge , dass ein eindeutiger Punkt existiert, welcher äquidistant von und ist. Die Funktion ist die Abstandsfunktion, welche durch die riemannsche Metrik induziert wird.

Weitere Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruierter Homöomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berger konstruierte in dem Beweis des Sphärensatzes eine Funktion , von der er zeigte, dass sie ein Homöomorphismus ist. Sei für ein eine Isometrie und sei der antipodale Punkt von . Die Funktion ist nun definiert durch

Die Funktion ist die Exponentialabbildung und ist die Abstandsfunktion, welche durch die riemannsche Metrik induziert wird.

Optimale Schranke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der komplexe projektive Raum für ist kompakt und einfach zusammenhängend und die Schnittkrümmung erfüllt die Ungleichung . Es ist jedoch bekannt, dass der komplex projektive Raum nicht homöomorph zur Sphäre ist. Das heißt bei gerader Dimension ist die optimale Schranke. Bei ungerader Dimension ist bekannt, dass der Satz auch für gilt. Jedoch ist die optimale Schranke noch nicht gefunden worden. Für Dimension ist der Satz sogar für richtig.

Satz von Hamilton[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fünfundzwanzig Jahre bevor der differenzierbare Sphärensatz bewiesen werden konnte, veröffentlichte Richard Hamilton im Jahr 1982 einen Satz, den er mit Hilfe von Techniken aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen aus dem (topologischen) Sphärensatz ableitete. Die Aussage des Satzes lautet:[6]

Sei eine kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension drei mit strikt positiver Ricci-Krümmung. Dann ist diffeomorph zur Sphäre .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
  • Simon Brendle Der Sphärensatz in der Riemannschen Geometrie, Jahresbericht DMV, Band 113, 2011, Heft 3, S. 123-138

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Rauch,, H.E., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38-55
  2. Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. of Math. 69 (1959), 654-666.
  3. Berger, M., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170
  4. Klingenberg, W., Über Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Krümmung, Comm. Math. Helv. 35(1961), 47-54.
  5. Brendle, Schoen, Manifolds with 1-4 pinched curvature are space forms, Journal of the AMS, Bd.22, 2009, S.287, Classification of manifolds with 1-4 pinched curvature, Acta Mathematica, Bd. 200, 2008, S.1
  6. Richard Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Differential Geom., 17:255-306, 1982