Isometrie

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Isometrie (Begriffsklärung) aufgeführt.

Eine Isometrie ist in der Mathematik eine Abbildung, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik (Abstand, Distanz) erhält. Das heißt, der Abstand zweier Bildpunkte ist gleich groß wie der der Urbildpunkte.

In der Euklidischen und der synthetischen Geometrie werden speziell solche Isometrien betrachtet, die zugleich geometrische Abbildungen für die betrachteten Räume sind. Meist spricht man dann von einer abstandserhaltenden, längentreuen oder auch isometrischen Abbildung. Wenn die geforderten Zusatzeigenschaften aus dem Zusammenhang klar sind, einfach von einer Isometrie.

Davon abweichend versteht man in der riemannschen Geometrie unter einer Isometrie eine Abbildung, die die riemannsche Metrik, und damit nur die Längen von Vektoren und die Längen von Kurven erhält. Eine solche Abbildung braucht nicht die Abstände zwischen zwei Punkten zu erhalten.

Definition[Bearbeiten]

Sind zwei metrische Räume (M_1,d_1), (M_2,d_2) gegeben, und f\colon M_1\rightarrow M_2 eine Abbildung mit der Eigenschaft

d_2\left(f(x),f(y)\right) = d_1(x,y)\ für alle x,y\in M_1,

dann heißt f Isometrie von M_1 nach M_2. Eine solche Abbildung ist stets injektiv. Ist f sogar bijektiv, dann heißt f isometrischer Isomorphismus, und die Räume M_1 und M_2 heißen isometrisch isomorph; andernfalls nennt man f eine isometrische Einbettung von M_1 in M_2.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Normierte Vektorräume[Bearbeiten]

In normierten Vektorräumen V ist der Abstand zwischen zwei Vektoren u, v \in V durch die Norm des Differenzvektors definiert:

d(u,v) = \|v-u\|.

Sind V und W zwei normierte Vektorräume mit Norm \| \cdot \|_V bzw. \| \cdot \|_W und ist f \colon V \to W eine lineare Abbildung, so ist diese Abbildung genau dann eine Isometrie, wenn sie die Norm erhält, wenn also für alle v \in V

\|f(v) \|_W = \|v \|_V

gilt.

Ohne die Voraussetzung der Linearität gilt für reelle normierte Vektorräume:

In beiden Fällen gilt: Bildet die Abbildung den Nullvektor von V auf den Nullvektor von W ab, so ist sie linear.

Vektorräume mit Skalarprodukt[Bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum mit Skalarprodukt, so ist die induzierte Norm (Länge) eines Vektors definiert als die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Für den Abstand zweier Vektoren u und v ergibt sich dann:

d(u,v) = \|v-u\| = \sqrt{\langle u-v, u-v \rangle},

wobei das Skalarprodukt hier durch spitze Klammern bezeichnet wird.

Sind V und W Vektorräume mit Skalarprodukt \langle \cdot , \cdot \rangle_V bzw. \langle \cdot , \cdot \rangle_W und ist f \colon V \to W eine lineare Abbildung, so ist diese Abbildung genau dann eine lineare Isometrie, wenn sie das Skalarprodukt erhält, das heißt

\langle f(u), f(v) \rangle_W = \langle u, v \rangle_V für alle u,v \in V.

Solche Abbildungen werden auch orthogonale Abbildungen (im Fall reeller Skalarprodukträume) oder unitäre Abbildungen (im Fall komplexer Skalarprodukträume) genannt. Bei reellen Skalarprodukträumen muss dabei nicht vorausgesetzt werden, dass die Abbildung linear ist, denn jede Isometrie, die den Nullvektor auf den Nullvektor abbildet, ist in diesem Fall linear.

Ist \{a_1,\ldots ,a_n\} eine Orthonormalbasis von V, so ist eine lineare Abbildung f\colon V\to W genau dann eine Isometrie, wenn \{f(a_1),\ldots, f(a_n)\} ein Orthonormalsystem in W ist.

Die Menge aller linearen Isometrien eines euklidischen Vektorraums in sich bildet eine Gruppe, die orthogonale Gruppe des Raums. Entsprechend bildet die Menge aller linearen Isometrien eines unitären Vektorraums in sich die unitäre Gruppe des Raums.

Euklidischer Punktraum[Bearbeiten]

Hauptartikel: Bewegung (Mathematik)

Jede Isometrie f \colon E \to F zwischen zwei euklidischen Punkträumen E und F ist eine affine Abbildung. Sie lässt sich in der Form

f(Q) = f(P) + \vec f (\overrightarrow{PQ}) für alle P, Q \in E

darstellen, wobei \vec f \colon V_E \to V_F eine lineare Isometrie zwischen den zugehörigen euklidischen Vektorräumen V_E und V_F ist.

Umgekehrt ist jede Abbildung, die sich so darstellen lässt, eine Isometrie. Isometrien eines euklidischen Punktraums in sich heißen auch Bewegungen.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Aus der Definition folgt unmittelbar, dass jede Isometrie stetig ist.
  • Jede Isometrie ist sogar Lipschitz-stetig, also insbesondere gleichmäßig stetig. Isometrien sind damit stetig fortsetzbar auf den Abschluss, wenn der Bildraum vollständig ist.
  • Jeder metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Vektorraums, und jeder vollständige metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachraums.
  • Gilt M_1 = M_2 und d_1 = d_2 und werden durch f zwei Figuren aufeinander abgebildet, so heißen die Figuren kongruent zueinander. Gilt M_1 = M_2 und d_1 \neq d_2, so heißen sie ähnlich; ansonsten spricht man einfach von isometrischen Figuren.
  • Jede Isometrie eines euklidischen Raums erhält auch Winkel, Flächeninhalt und Volumen.
  • Allgemein erhält jede Isometrie zwischen metrischen Räumen die Hausdorff-Maße.

Literatur[Bearbeiten]

  • Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 2. überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00121-2, (Springer-Lehrbuch).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jussi Väisälä: A proof of the Mazur-Ulam theorem. Abgerufen am 14. April 2014.
  2.  Stanisław Mazur, Stanisław Ulam: Sur les transformationes isométriques d’espaces vectoriels normés. In: C. R. Acad. Sci. Paris. 194, 1932, S. 946–948.