Splay-Baum

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In der Informatik ist ein Splay-Baum (auch Spreizbaum genannt, englisch Splay tree) ein spezieller Typ eines binären Suchbaums. Der Splay-Baum ist eine selbst-organisierende Datenstruktur mit der Besonderheit, dass die Organisation der gespeicherten Elemente sich potentiell nicht nur bei Modifikationen (wie bei AVL-Baum und Rot-Schwarz-Baum) ändert, sondern auch bei bloßen Anfragen. Die angefragten Elemente werden in die Nähe der Wurzel „gespült“, so dass sie bei einer alsbaldigen erneuten Suche schneller gefunden werden. Alle wichtigen Operationen wie Einfügen, Suchen und Löschen werden (amortisiert) effizient ausgeführt. Für eine gegebene Anfragesequenz verhält sich der Splay-Baum bezüglich der asymptotischen Laufzeit aller Anfragen äquivalent zu einer optimalen statischen Datenstruktur für diese Sequenz.[1] Diese Eigenschaft bezeichnet man als „statische Optimalität“. Es wird vermutet, dass die asymptotische Laufzeit der Anfragesequenz auch äquivalent zu der einer optimalen dynamischen Datenstruktur ist. Diese Vermutung ist als „dynamische Optimalität“ bekannt und gilt als eines der bekanntesten offenen Probleme auf dem Gebiet der Datenstrukturen.

Splay-Bäume wurden 1985 von Daniel Sleator und Robert Tarjan unter dem Namen Self-Adjusting Binary Search Trees vorgestellt.[1]

Operationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Splay-Bäume haben gegenüber normalen Bäumen eine besondere Operation splay, mittels welcher alle anderen Operationen sehr leicht durchgeführt werden können.

Splay[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird die Splay-Operation auf ein Element in einem Baum angewendet, so sorgt sie dafür, dass nach der Operation in der Wurzel von steht. Dies wird erreicht, indem das Element Schritt für Schritt im Baum hinaufrotiert wird, bis es schließlich bei der Wurzel angekommen ist. Hierzu wird jeweils mit seinem Vater bzw. Großvater verglichen. Aufgrund dieses Vergleiches werden insgesamt sechs Fälle unterschieden, von denen jeweils die Hälfte symmetrisch sind.

Anmerkung: Rotationen sind im Artikel Binärbaum beschrieben.

Zick-Rotation

Falls das linke Kind seines Vaters ist und keinen Großvater hat, und somit bereits direkt unter der Wurzel steht, wird eine zick-Rotation (Rechts-Rotation) durchgeführt. Nun ist die neue Wurzel des Baumes und die Splay-Operation beendet. Liegt im rechten Teilbaum seines Vaters, wird analog eine zack-Rotation (Links-Rotation) durchgeführt. Hat einen Großvater, so können zwei Einzelrotationen zu einer Kompositrotation zusammengesetzt werden.

Splay tree zig.svg

Zick-Zick-Rotation

Ist das linke Kind seines Vaters, welcher das linke Kind des Großvaters von ist, so wird eine zick-zick-Rotation (zwei Rechts-Rotationen) durchgeführt. Hierbei wird mit dem Großvater vertauscht und alle weiteren Unterbäume werden an die entsprechenden Stellen gesetzt. Falls nach der Rotation noch nicht in der Wurzel des Baumes steht, so wird weiterrotiert. Symmetrisch hierzu die zack-zack-Rotation, falls das rechte Kind seines Vaters ist, welcher das rechte Kind des Großvaters von ist.

Zigzig.gif

Zack-Zick-Rotation

Ist das zweite Kind (von links) seines Großvaters, so wird eine zack-zick-Rotation (Links-Rotation gefolgt von einer Rechts-Rotation) durchgeführt. Hierbei tauscht die Position mit seinem Großvater und alle weiteren Unterbäume werden an die entsprechenden Stellen gesetzt. Falls nach der Rotation noch nicht in der Wurzel des Baumes steht, so wird weiterrotiert. Symmetrisch hierzu die zick-zack-Rotation, falls das linke Kind seines Vaters ist, welcher das rechte Kind des Großvaters von ist.

Zigzag.gif

Amortisierte Laufzeit:

Suchen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um ein Element im Baum zu suchen, führt man einfach aus. Dies bewirkt, dass falls in enthalten war, es nun in der Wurzel steht. Somit muss man nur noch die neue Wurzel mit vergleichen. Sind sie unterschiedlich, war nicht im Baum.

Amortisierte Laufzeit:

Einfügen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um ein Element in einen Splay-Baum einzufügen, sucht man zuerst wie in einem Binärbaum nach . Nachdem diese Suche erfolglos endet, bekommt man den Knoten , an dem angehängt werden müsste. Dieser Knoten wird jetzt mit der splay-Operation an die Wurzel gebracht. Somit ist nun an der Wurzel und hat zwei Teilbäume und . Jetzt wird die split-Operation ausgeführt:

wird mit verglichen:

wenn größer als , dann wird mit seinem linken Teilbaum links an angehängt. Der rechte Teilbaum wird rechts an angehängt.
wenn kleiner als , dann wird mit seinem rechten Teilbaum rechts an angehängt. Der linke Teilbaum wird links an angehängt.

Somit ist an der Wurzel und an der richtigen Stelle.

Amortisierte Laufzeit:

Löschen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um aus zu löschen, führt man erst einmal eine Suche auf aus, wird das Element gefunden, wird es gelöscht, und der Unterbaum an den Elternknoten angehängt. Gefolgt von , welches den Elternknoten in die Wurzel holt.

Amortisierte Laufzeit:

Vereinigen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Operation join vereinigt zwei Splay-Bäume und , welche unmittelbar vorher mittels split getrennt wurden. Hierbei wird zuerst mittels das maximale Element des ersten Baumes gesucht und in die Wurzel rotiert. Da die beiden Bäume und das Ergebnis einer vorherigen split-Operation sind, sind alle Elemente in größer als die Elemente in , weswegen man den Baum nun ohne Probleme zum rechten Kind von machen kann.

Amortisierte Laufzeit:

Aufsplitten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um einen Splay-Baum bei dem Knoten in zwei Splay-Bäume aufzusplitten, macht man zuerst mittels splay zur Wurzel von . War im Baum enthalten, kann man nun die Verbindung zu einem der beiden Teilbäume einfach trennen. Steht nach der Splay-Operation ein anderes Element in der Wurzel, so war selbst nicht in enthalten. Ist nun kleiner als , so kann man das linke Kind von abschneiden, andernfalls sein rechtes.

Amortisierte Laufzeit:

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Daniel D. Sleator, Robert Tarjan: Self-Adjusting Binary Search Trees (PDF; 6,1 MB). In: Journal of the ACM (Association for Computing Machinery). Band 32, Nr. 3, 1985, S. 652–686, doi:10.1145/3828.3835.