Størmer-Zahl

Eine Størmer-Zahl, auch als Arcustangens-irreduzible Zahl bezeichnet, ist eine natürliche Zahl n, für die der größte Primfaktor von (n² + 1) größer oder gleich 2n ist. Namensgeber ist der norwegische Geophysiker und Mathematiker Carl Størmer.

Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt Størmer-Zahl, wenn es eine Primzahl $p$ gibt mit $p\geq 2n$ und $p|(n^{2}+1)$, wobei | für die Teilbarkeitsrelation steht.

Beispiel

n=33 ist eine Størmer-Zahl. Der größte Primfaktor von $n^{2}+1=33^{2}+1=1090=2\cdot 5\cdot 109$ ist $109$, und dieser ist größer als $2n=2\cdot 33=66$.

Størmer-Zahlen

Folgende Zahlen sind Størmer-Zahlen:

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, ... Folge A005528

Auftreten

Størmer-Zahlen treten bei der Untersuchung von Werten der Arcustangens-Funktion an ganzzahligen Stellen auf. Man nennt einen solchen Wert $\arctan(n)$ reduzibel, wenn er als ganzzahlige Linearkombination

$\arctan(n)=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\cdot \arctan(k),\quad a_{k}\in \mathbb {Z}$

solcher Werte an kleineren Stellen geschrieben werden kann, wie zum Beispiel

$\arctan(3)=3\cdot \arctan(1)-\arctan(2)$,

$\arctan(7)=-\arctan(1)+2\cdot \arctan(2)$,

$\arctan(8)=2\cdot \arctan(1)+\arctan(3)-\arctan(5)$.

Es stellt sich heraus, dass $\arctan(n)$ genau dann irreduzibel ist, also nicht eine solche Linearkombination ist, wenn $n$ eine Størmer-Zahl ist. Das erklärt die eingangs genannte alternative Bezeichnung "Arcustangens-irreduzible Zahl".

Weblinks

• Størmer number (MathWorld)