Diskussion:Rotationskörper

Beispiel

Für eine um die Achse im Radius $\ r_{k}$ rotierende kleine Teilfläche $\ A_{k}$ gilt $\ V_{k}=2\cdot \pi \cdot r_{k}\cdot \ A_{k}$ (Ringvolumen)

Durch Summierung ergibt sich das Rotationsvolumen $\ V=2\cdot \pi \cdot \sum r_{k}\cdot \ A_{k}$

Mit dem Flächenschwerpunkt $\ r_{S}$ und der Rotationsfläche $\ A$ gilt $\sum r_{k}\cdot \ A_{k}=r_{S}\cdot A$ (Flächenmoment)

Somit $\ V=2\cdot \pi \cdot \ r_{S}\cdot A=\ u_{S}\cdot \ A$

Beispiel:

1) Kreiskegel mit dem Radius $\ r$, der Höhe $\ h$ und der Grundkreisfläche $\ G$

$\ V=2\cdot \pi \cdot {\frac {r}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \ r\cdot \ h={\frac {\pi }{3}}\cdot \ r^{2}\cdot \ h={\frac {1}{3}}\cdot \ G\cdot \ h$

2) Torus mit $\ r_{S}=a$ und $\ A=\pi \cdot \ r^{2}$

$\ V=2\cdot \pi \cdot \ a\cdot \pi \cdot \ r^{2}=2\cdot \pi ^{2}\cdot \ a\cdot \ r^{2}$

3) Für die Kugel mit dem Radius $\ r$ gilt

$\ V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot \ r^{3}=2\cdot \pi \cdot \ r_{S}\cdot {\frac {\pi }{2}}\cdot \ r^{2}$ und somit $\ r_{S}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {r}{\pi }}$

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Man könnte hier auch die Formel $V=\pi \int \rho (z)^{2}dz$ angeben. User:MFH 147.91.173.31 20:52, 10. Mai 2005 (CEST)

Rotation um die y-Achse

Ist die Rotation um die Y-Achse nicht: $V=\pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}x^{2}\cdot f'(x)\cdot dx$ ? --80.218.38.67

Nein, das gilt nur für f(a) oder f(b)=0, da die Differentiation Summanden nicht beachtet. Ich habe eine dementsprechende Einschränkung eingefügt, den das Problem hat mich auch einige Zeit gekostet ehe ich den Fehler bemerkt habe. In meinem Tafelwerk ist die Formel deshalb gar nicht erst angegeben.--Donovaly 15:52, 11. Jan. 2007 (CET)

Donovaly, dieser Einschränkung liegt meines Erachtens nach ein Denkfehler zugrunde. Im Artikel heisst es:

$V=\pi \cdot \int _{a}^{b}x^{2}\cdot f'(x)\mathrm {d} x$ gilt nur, wenn eine der Integrationsgrenzen gleich 0 ist, denn man erhält z.B. sonst für die Rotation der Funktionen $f(x)=x+1{\text{ }}\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ }}f(x)\in [1;3]$ und $f(x)=x{\text{ }}\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ }}f(x)\in [0;2]$ ein anderes Volumen bei Rotation um die y-Achse, obwohl beide dasselbe Volumen haben, denn der Summand "1" fällt bei der Differentiation weg.

Hier liegt der Hase im Pfeffer. Die beiden Rotationskörper haben eben nicht dasselbe Volumen. Und diese unterschiedlichen Volumina erhält man eben gerade.--Kramer 22:56, 25. Mär. 2007 (CEST)

Wenn ich mich nicht täusche, erhalten wir nämlich für f(x)=x in [0;2] einen kopfstehenden Kegel mit einem Radius r=2 und der Höhe h=2, wogegen uns f(x)=x+1 in [1;3] bei Rotattion um die y-Achse einen Kegelstumpf mit der Höhe h=2, und den Radien r=1 und R=3 liefert.--Kramer 04:57, 26. Mär. 2007 (CEST)

Alles klar, ich hatte für a und b die y-Werte eingesetzt, nicht die x-Werte. --Donovaly 02:04, 23. Apr. 2007 (CEST)

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ich wage zu bezweifeln das das erste guldinsche postulat richtig eingefügt ist.... ich konnte aber auch nichts dazu finden....

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Ich wollte bloß erwähnen, dass es noch eine andere wichtige Formel für rotationen gibt:

$V=2\pi \cdot \int _{x=a}^{x=b}x\cdot f(x)\mathrm {d} x$

Sie beruht darauf, dass man den Raum unter einer Funkion, die um die Y-Achse gedreht wurde, durch Unendlich viele Hohlzylinder annähert. MfG Peter Weissig

-- Ich finde diese Schreibweise recht anschaulich.

$2\pi \cdot x$ - ist die Formel für den Umfang eines Kreises

$2\pi \cdot x\cdot f(x)=2\pi \cdot x\cdot h$ - ist die Mantelfläche eines Zylinders mit Radius x und Höhe h

$2\pi \cdot x\cdot f(x)\cdot \mathrm {d} x$ - mit dem infinitesimalen dx (liegt in Richtung der x-Achse) kann man schön das Volumen des kleinen Hohl-Zylinders erkennen. Das dx steht senkrecht auf der Manteloberfläche des Zylinders und spannt somit das Volumen auf.

-- Ad.Astra20 11:48, 03. Dez. 2007 (CET)

erste guldinsche Regel

Hallo, M ist per Definition immer >= 0, die Integranden sind in beiden Ausdrücken auch immer positiv. Man wählt automatisch a < b, dann ist aber nicht notwendigerweise auch f(a) < f(b), deshalb gibt es manchmal für M negative Ergebnisse, nämlich immer dann, wenn f(a) > f(b). Soll man also vielleicht für das zweite Integral lieber folgendes schreiben ?

$M=2\pi \int _{Min(f(a),f(b))}^{Max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.$

Gruss --131.220.161.244 19:25, 3. Feb. 2009 (CET)

Irreführende Definition

"Rotationskörper werden in der Geometrie Körper genannt, die durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet werden" Das ist eigentlich die Definiton der Rotationsfläche. Hier geht es aber um den Rotationskörper, der von der Rotationsfläche berandet wird. --Suhagja (Diskussion) 15:59, 5. Okt. 2012 (CEST)

Guldinsche Regel

Aus dem Artikel wird nicht deutlich, dass es sich bei den Schwerpunkten in der ersten und in der zweiten Guldinschen Regel um verschiedene Punkte handeln kann.

Bei der ersten Guldinschen Regel, wo der Flächeninhalt der Rotationsfläche bestimmt werden soll und die Länge der Kurve, die rotiert, benutzt wird, handelt es sich um den Schwerpunkt der Kurve.

Bei der zweiten Guldinschen Regel, wo das Volumen des Rotationskörpers bestimmt werden soll und der Flächeninhalt der rotierenden Fläche benutzt wird, handelt es sich um den Schwerpunkt der Fläche.

Beim Torus (rotierender Kreis) ist das dasselbe, aber im Allgemeinen sind die beiden Schwerpunkte verschieden, vgl. auch [1]. --Digamma (Diskussion) 17:53, 13. Jan. 2013 (CET)

Darf die Erzeugende die Achse schneiden ?

Ich bin der Meinung, die erzeugende Kurve darf die Achse höchstens berühren. Beispiel: der Torus wird gebildet mithilfe eines Kreises mit Radius r, dessen Mittelpunkt um eine Rotationsachse im Abstand R rotiert. Der Torus ist vollständig, wenn R >= r. Wenn R < r, schneidet der Kreis die Rotationsachse, die erzeugende Kurve muss dann an der Drehachse abgeschnitten werden, der Teil auf der anderen Seite zählt sonst negativ. Die Figur sieht dann ähnlich aus wie ein Apfel und bei -r < R < 0 noch wie ein Zweispitz. Das Volumen dieses Objektes ist gegeben als Funktion von R und r mit der folgenden Formel:

$V=2\pi *{\text{Fläche}}*{\text{Flächenschwerpunkt}}=4\pi \int _{0}^{R+r}x{\sqrt {r^{2}-(x-R)^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{3}}{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}(2r^{2}+R^{2})+\pi r^{2}R(\pi +2\arctan({\frac {R}{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}})).$

Das ergibt für R = 0 das Volumen der Kugel (nur der Halbkreis rotiert) und bei R = r das Volumen des kompletten Torus. Für R > r ist das Volumen daran anschliessend durch den bekannten Ausdruck $V=2\pi ^{2}r^{2}R$ bestimmt. Lässt man zu, dass die Drehachse geschnitten wird, wäre das Volumen für alle R (auch 0 < R < r) als $V=2\pi ^{2}r^{2}R$ gegeben, was zu klein ist (0 bei R = 0). Gruss --78.48.107.212 00:09, 14. Mai 2013 (CEST)

Das zeigt doch nur, daß die Anwendbarkeit Deiner Formeln (die ich jetzt gar nicht überprüfen will, ich akzeptiere sie mal) gewissen Beschränkungen unterworfen ist. Darum ging es aber im hier von Dir (wieder) eingefügten Satz „Die Kurve schneidet die Achse nicht, berührt sie höchstens.“ der Einleitung (!) gar nicht. Denn dieser Satz wäre an dieser Stelle ein Teil der Definition des Begriffes „Rotationskörper“, indem er (implizit und fälschlicherweise) behauptet, eine die Drehachse schneidende Kurve könne nicht Erzeugende eines Rotationskörpers sein. Als Gegenbeispiel habe ich bereits einmal den Doppelkegel angegeben, der offenbar von einer die Achse schneidenden Geraden (oder Strecke) erzeugt wird. Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 02:17, 14. Mai 2013 (CEST)

Ich halte die Definition mit der erzeugenden Kurve sowieso nicht für die passende, sondern würde sagen, dass ein Rotationskörper durch die Rotation einer Fläche entsteht. So sagen es auch dir mir vorliegenden Schulbücher. Und dann macht auch die Guldinsche Regel Sinn. (Den Doppelkegel kenne ich eigentlich nur als Fläche, nicht als Körper.) --Digamma (Diskussion) 17:50, 14. Mai 2013 (CEST)

Shell integration und Disc integration

Im Englischen wird neben der Rotation um die x-Achse bzw. der Rotation um die y-Achse nocht zwischen der en:Disc integration und en:Shell integration unterschieden - soll heißen, dass bei der Rotation um die y-Achse die integrierten Rechtecke senkrecht stehen (Shell integration) bzw. waagerecht liegen - Disc integration. Bei einer Rotation um die x-Achse ist es anders rum: die integrierten Rechtecke stehen senkrecht - Disc integration (auch Washer method genannt - "Unterlegscheiben") bzw. die integrierten Rechtecke liegen waagerecht - Shell integration - wie Zwiebelschalen oder Baumkuchen. Ich suche die richtigen deutschen Fachbegriffe dazu - für "Shell integratio" und "Disc integration". Beim Überfliegen des Artikels konnte ich mit meinen bescheidenen Mathekenntnissen auch keine Erwähnung dieser unterschiedlichen Methoden finden. --Thirunavukkarasye-Raveendran (Diskussion) 00:25, 5. Sep. 2016 (CEST)

In diesem Artikel wird immer über die x-Achse integriert. Ist die Rotationsachse die x-Achse, dann läuft das auf "disk integration" hinaus. Wenn die Rotationsachse die y-Achse ist, ist das "shell integration". Die Begriffe kenne ich aber nicht im Deutschen. --Digamma (Diskussion) 14:18, 5. Sep. 2016 (CEST)

Danke für die Auskunft! Also dann könnt das Lemma mit einen Abschnitt "Integration über die y-Achse" erweiter werden. --Thirunavukkarasye-Raveendran (Diskussion) 17:51, 9. Sep. 2016 (CEST)

Es macht ja eigentlich keinen Unterschied, ob die Rotationsachse die x- oder die y-Achse ist: Man dreht halt gegebenenfalls den Körper oder das Koordinatensystem. Deshalb kann man auch sagen, dass man die Achsen grundsätzlich so wählt, dass über die x-Achse integriert wird. Der Fall, dass bei Rotation um die y-Achse die Rechtecke waagrecht liegen (Disc integration) wird hier im Artikel übrigens auch behandelt. Es ist der 1. Fall, der bei "Rotation um die y-Achse" behandelt wird (die Fläche wird von der y-Achse, der Kurve und den Geraden y = f(a) und y = f(b) berandet). Der zweite Fall (die Fläche wird von der Kurve, der x-Achse und den Geraden x = a und y = b berandet) ist dann "shell integration". --Digamma (Diskussion) 19:19, 9. Sep. 2016 (CEST)

Auch bei der Integration über die x-Achse kann man zwischen "disc integration und "shell integration" unterscheiden. Ich habe jetz in den Weiten des Internets "Scheibenmethode" für "Disc integration" und "Schalenmethode" für "Shell integration " gefunden.

Schalenmethode mit Integration über die x-Achse und Rotation um die y-Achse

Schalenmethode mit Integration über die y-Achse und Rotation um die x-Achse. Da müsste noch mal die Grafikwerkstatt ran, schön mit x- und y- Achse versehen.

In dem gleichen Stil sollten dann auch zwei Zeichnungen mit der Scheibenmethode gezeichnet werden.

Bei der (normalerweise verwendeten) Scheibenmethode wird über diejenige Achse integriert, um die auch rotiert wird. Bei der Schalenmethode wird über die eine Achse integriert und um die andere Achse rotiert. Bei der Scheibenmethode stehen also die "Rechtecke" senkrecht zur Rotationsachse, während sie bei der Schalenmethode parallel zur Rotationsachse liegen. Die Schalenmethode ist besonders in denjenigen Fällen günstiger, in denen die SCheibenmethode eine Zerlegung in mehrere Integrale erfordern würde. --Thirunavukkarasye-Raveendran (Diskussion) 23:06, 12. Sep. 2016 (CEST)

Über die x-Achse integrieren kann man, wenn y eine Funktion von x ist. Entsprechend kann man über die y-Achse integrieren, wenn x eine Funktion von y ist (was sehr unüblich ist). Deshalb ist der Standardfall, dass man über die x-Achse integriert. Es kann natürlich sein, dass die Funktion injektiv ist, dann kann man x nach y auflösen und über die y-Achse integrieren. Das ist aber eher untypisch.

Deine beiden Bilder stellen ja denselben Rotationskörper dar, nur um 90° gedreht, bzw. die x- und die y-Achse vertauscht. Es ergibt sich aber genau die gleiche Rechnung, nur werden eben die Bezeichnungen x und y vertauscht. Beim zweiten Bild, wo um die x-Achse rotiert wird, ist y keine Funktion von x, d.h., man kann nur über y, aber nicht über x integrieren. In diesem Fall würde man aber üblicherweise die Variablen umbenennen, d.h. x und y vertauschen, was geometrisch darauf hinausläuft, die Achsen zu vertauschen. Es ist also unnötig, den Fall zu betrachten, dass x eine Funktion von y ist und die x-Achse die Rotationsachse ist. --Digamma (Diskussion) 21:35, 14. Sep. 2016 (CEST)