Totalkrümmung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Kurventheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, wird die Totalkrümmung einer Kurve definiert als das Integral ihrer Krümmung , also als

.

Kurven in der Ebene

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Totalkrümmung einer geschlossenen Kurve in der Ebene ist stets ein ganzzahliges Vielfaches von . Der ganzzahlige Faktor ist die Tangentenumlaufzahl der Kurve.

Aus dem Satz von Whitney-Graustein folgt, dass sich die Totalkrümmung einer geschlossenen regulären Kurve unter regulären Homotopien nicht ändert.

Aus der Fary-Milnor-Ungleichung folgt, dass die Totalkrümmung einer verknoteten Raumkurve stets größer als ist.

Höherdimensionale Verallgemeinerung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für höherdimensionale riemannsche Mannigfaltigkeiten bezeichnet man als Totale Skalarkrümmung (oder im Fall von Flächen ebenfalls als Totalkrümmung) das Integral

der Skalarkrümmung bezüglich der Volumenform der riemannschen Metrik .

Für Flächen folgt aus dem Satz von Gauß-Bonnet, dass ihre Totalkrümmung nur von der Euler-Charakteristik der Fläche und nicht von der riemannschen Metrik abhängt.