Volumenform

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens.

In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Maßfaktor gebräuchlich.

Beispiele in 3 Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kartesische Koordinaten:
  • Zylinderkoordinaten:
  • Kugelkoordinaten:

Berechnung in 3 Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Volumenelement in drei Dimensionen lässt sich nach dem Transformationssatz mit Hilfe der Funktionaldeterminante berechnen. Die Jacobi-Matrix für die Transformation von den Koordinaten zu ist hierbei definiert durch

Das Volumenelement ist dann gegeben durch

Mathematische Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer -dimensionalen Mannigfaltigkeit eine nirgends verschwindende Differentialform vom Grad . Im Fall einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientierten Orthonormalbasis annimmt. Diese wird Riemann'sche Volumenform genannt.

Integration mit Volumenformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit und eine integrierbare Funktion, so ist das Integral

über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien lokale Koordinaten, so dass

positiv orientiert ist. Dann kann man im Kartengebiet als

schreiben; das Integral ist dann das gewöhnliche Lebesgue-Integral von . Für das Integral über ganz kann eine Partition der Eins oder eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit in disjunkte messbare Teilmengen verwendet werden. Aus dem Transformationssatz ergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]