Transitive Menge

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In der Mengenlehre nennt man eine Menge transitiv, falls

  • aus und immer folgt, dass , in Zeichen:
,

oder äquivalent falls

  • jedes Element von , das eine Menge ist, eine Teilmenge von ist.

Auf ‚echte‘ (d. h. von der Leermenge verschiedene) Urelemente kommt es dabei nicht an.
Analog dazu nennt man eine Klasse transitiv, falls jedes Element von eine Teilmenge von ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
  • Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge.
  • Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Menge ist genau dann transitiv, wenn , wobei die Vereinigung aller Elemente von ist.[1]
  • Falls transitiv ist, dann ist auch transitiv.
  • Falls und transitive Mengen sind, dann ist auch transitiv
  • Allgemein, falls eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist eine transitive Klasse.
  • Eine Menge ist genau dann transitiv, wenn eine Teilmenge der Potenzmenge von ist.
  • Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der Von-Neumann-Hierarchie verwendet um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei gegeben eine Menge (oder Klasse) und eine Relation darauf. heißt -transitiv, wenn gilt:

.[2]

Im Fall ergibt sich die oboge Definition als Spezialfall.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.
  2. Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]