Van-Cittert-Dekonvolution

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Die Van-Cittert-Dekonvolution (benannt nach Pieter Hendrik van Cittert) ist ein Verfahren, um die Faltung eines Bildes g mit einer Filtermaske (PSF) h rückgängig zu machen (Dekonvolution/inverse Filterung). Sie kann zur Verbesserung der Bildqualität benutzt werden, wenn das Bild zum Beispiel durch ein unscharfes Objektiv o. ä. „verwaschen“ wurde. Das Bild g stellt das ideale Bild dar, das man als Ergebnis des Verfahrens erhalten möchte. Das verwaschene Bild f, das den Ausgangspunkt des Verfahrens darstellt, wird beschrieben durch:

Hier entspricht dem Filteroperator, der durch Faltung mit h dargestellt wird. Ziel ist es, folgenden Ausdruck berechnen:

Die Van Cittert Deconvolution approximiert diesen durch eine iterative Formel:

Dabei ist ein Operator, dessen Punktantwort I einem Delta-Puls entspricht (überall 0, nur in der Mitte 1). Die Operation ergibt also gerade . Die Stärke der Rückfaltung hängt von der Anzahl der Iterationsschritte k ab. Je mehr Iterationsschritte durchgeführt werden, desto stärker ist die Rückfaltung (Schärfung). Dafür wird das Bildrauschen bei zu großer Anzahl an Iterationen verstärkt und somit das Bild wieder undeutlich.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Bilder zeigen die Anwendung der Van-Cittert-Iteration auf ein weichgezeichnetes Bild (3×3-Gauß-Filter):

Van-Cittert-Iteration

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fourierraum wird die Faltung zu einer punktweisen Multiplikation, sodass gilt:

Dies lässt sich leicht berechnen, wenn die Übertragungsfunktion keine Nullstellen enthält, da sonst eine Division durch 0 nötig wäre. Um dieses Problem zu umgehen führt man ein. Damit gilt dann:

Im letzten Schritt wurde eine Taylor-Entwicklung durchgeführt. Dabei wird der Term um die invariante Abbildung , bzw. entwickelt. Im Ortsraum ergibt dieser Ausdruck:

    mit .

Unter Ausnutzung des Horner-Schemas für dieses Polynom erhält man obige Iterationsvorschrift:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]