Variation der Konstanten

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Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

Das Verfahren wurde vom Mathematiker Joseph-Louis Lagrange entwickelt.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte die skalare lineare Differentialgleichung erster Ordnung[1]

Weiter sei eine Stammfunktion von , z. B.

Dann ist

die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung . Als Ansatz für die Lösung des inhomogenen Problems setze man

d. h., man lässt die Konstante variieren. Dies ergibt eine eindeutige Zuordnung zwischen den Funktionen und , denn ist eine stets positive, stetig differenzierbare Funktion. Die Ableitung dieser Ansatzfunktion ist

Also löst die inhomogene Differentialgleichung

genau dann, wenn

gilt. Beispielsweise ist

eine solche Funktion und somit

die spezielle Lösung mit . Also ist

die Menge aller Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Liegt an einer Spule mit der Induktivität und dem elektrischen Widerstand eine Gleichspannung an, so gilt für die Spannung an dem Widerstand

Nach dem ohmschen Gesetz gilt daher

Es handelt sich also um eine gewöhnliche, inhomogene, lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die nun mithilfe des Verfahrens der Variation der Konstanten gelöst werden soll.

Die zugehörige homogene Gleichung lautet

Daraus folgt, dass

für jede Konstante eine Lösung des homogenen Problems ist.

Als Ansatz für die Lösung der inhomogenen Gleichung ersetze man die Konstante durch einen variablen Ausdruck . Man setzt also

und versucht, eine differenzierbare Funktion so zu bestimmen, dass die inhomogene Differentialgleichung erfüllt. Es folgt

Also ist die Differentialgleichung genau dann erfüllt, wenn

ist, also gleichbedeutend mit , woraus man mittels Integration erhält. Somit wird die inhomogene Differentialgleichung durch

gelöst. Die Konstante kann man noch aus Anfangsbedingungen bestimmen. Beispielsweise ergibt sich für die Lösung

Inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das obige Verfahren lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern[2]:

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und stetige Funktionen und eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems sowie diejenige Matrix, die aus entsteht, indem man die -te Spalte durch ersetzt. Dann ist

mit

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems , .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setze

Es ist , und wegen sieht man durch Differenzieren, dass die Differentialgleichung erfüllt. Nun löst

für festes das lineare Gleichungssystem

Nach der cramerschen Regel ist somit

Also gilt

Spezialfall: Resonanzfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls die Inhomogenität selber Lösung des homogenen Problems ist, d. h. , so bezeichnet man dies als Resonanzfall. In diesem Fall ist

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems , .

Inhomogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.[3]

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien stetige Funktionen und eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems , deren erste Zeile lautet, sowie diejenige Matrix, die aus entsteht, indem man die -te Spalte durch ersetzt. Dann ist

mit

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems , .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte zunächst das hierzu korrespondierende Differentialgleichungssystem erster Ordnung, bestehend aus Gleichungen

mit

Es gilt: löst die skalare Gleichung -ter Ordnung genau dann, wenn Lösung obigen Systems erster Ordnung ist. Per definitionem ist eine Fundamentalmatrix für dieses System erster Ordnung. Darauf wende man schließlich das oben bewiesene Verfahren der Variation der Konstanten an.

Alternative: Grundlösungsverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall konstanter Koeffizienten ist es gelegentlich von Vorteil, das Grundlösungsverfahren zur Konstruktion einer speziellen Lösung zu verwenden: Ist diejenige homogene Lösung von , welche

erfüllt, dann ist

diejenige spezielle Lösung von mit .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Differenzieren überprüft man

und

Es ergibt sich

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0, §2, Abschnitt II
  2. Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0, §16
  3. Differentialgleichungen n-ter Ordnung. In: Otto Forster: Analysis II. Vieweg Verlag, 1977, ISBN 3-499-27031-5, Kapitel II, §12.