Variation der Konstanten

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Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

Leonhard Euler benutzte einen Vorläufer dieser Methode bereits 1748 im Zusammenhang mit astronomischen Problemen.[1][2] In seiner heutigen Form wurde das Verfahren von dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange entwickelt.[3]

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und stetige Funktionen, dann lautet die lineare Differentialgleichung erster Ordnung[4]

Sei weiter eine Stammfunktion von , so gilt

wobei geeigneten Randbedingungen genügen muss. Dann ist

die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung .

Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung wird nun die Funktion eingeführt und der Ansatz der Variation der Konstanten gewählt

.

Dies ergibt eine eindeutige Zuordnung zwischen den Funktionen und , denn ist eine stets positive, stetig differenzierbare Funktion. Die Ableitung dieser Ansatzfunktion ist

Also löst die inhomogene Differentialgleichung

genau dann, wenn

gilt. Beispielsweise ist

eine solche Funktion und somit

die spezielle Lösung mit . Also ist

die Menge aller Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Liegt an einer Spule mit der Induktivität und dem elektrischen Widerstand eine Gleichspannung an, so gilt für die Spannung an dem Widerstand

Nach dem ohmschen Gesetz gilt zudem

.

Es handelt sich also um eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die nun mithilfe des Verfahrens der Variation der Konstanten gelöst werden soll.

Für die zugehörige homogene Differentialgleichung

lautet die Lösung für jede Konstante

.

Als Ansatz für die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ersetze man die Konstante durch einen variablen Ausdruck . Man setzt also

und versucht, eine differenzierbare Funktion so zu bestimmen, dass die inhomogene Differentialgleichung erfüllt. Es folgt

Demnach ist die inhomogene Differentialgleichung genau dann gelöst, wenn gilt

.

Diese Randwertbedingung ist gleichbedeutend mit oder nach Integration mit . Somit lautet die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

.

Die Konstante lässt sich aus der Anfangsbedingung bestimmen und ergibt für die Lösung

.

Inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das obige Verfahren lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern[5]:

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und stetige Funktionen und eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems sowie diejenige Matrix, die aus entsteht, indem man die -te Spalte durch ersetzt. Dann ist

mit

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems und .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setze

Es ist , und wegen sieht man durch Differenzieren, dass die Differentialgleichung erfüllt. Nun löst

für festes das lineare Gleichungssystem

Nach der cramerschen Regel ist somit

Also gilt

Spezialfall: Resonanzfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls die Inhomogenität selber Lösung des homogenen Problems ist, d. h. , so bezeichnet man dies als Resonanzfall. In diesem Fall ist

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems und .

Inhomogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.[6]

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien stetige Funktionen und eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems , deren erste Zeile lautet, sowie diejenige Matrix, die aus entsteht, indem man die -te Spalte durch ersetzt. Dann ist

mit

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems und .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte zunächst das hierzu korrespondierende Differentialgleichungssystem erster Ordnung, bestehend aus Gleichungen

mit

Es gilt: löst die skalare Gleichung -ter Ordnung genau dann, wenn Lösung obigen Systems erster Ordnung ist. Per definitionem ist eine Fundamentalmatrix für dieses System erster Ordnung. Darauf wende man schließlich das oben bewiesene Verfahren der Variation der Konstanten an.

Alternative: Grundlösungsverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall konstanter Koeffizienten ist es gelegentlich von Vorteil, das Grundlösungsverfahren zur Konstruktion einer speziellen Lösung zu verwenden: Ist diejenige homogene Lösung von , welche

erfüllt, dann ist

diejenige spezielle Lösung von mit .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Differenzieren überprüft man

und

Es ergibt sich

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Forest Ray Moulton: An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd ed. (first published by the Macmillan Company in 1914; reprinted in 1970 by Dover Publications, Inc., Mineola, New York), page 431
  2. Leonhard Euler: Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748 par l’Académie Royale des Sciences de Paris, France: G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin, 1749, online Bei: Google.com
  3. Joseph-Louis Lagrange: (1766) “Solution de différens problèmes du calcul integral,” Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin, vol. 3, pages 179-380.
  4. Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0, §2, Abschnitt II
  5. Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0, §16
  6. Differentialgleichungen n-ter Ordnung. In: Otto Forster: Analysis II. Vieweg Verlag, 1977, ISBN 3-499-27031-5, Kapitel II, §12.