Verschiebungssatz (Statistik)

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Der Verschiebungssatz (auch Satz von Steiner genannt) ist eine Rechenregel für die Ermittlung der Summe quadratischer Abweichungen vom arithmetischen Mittel.

Kurzgefasst besagt er:

.

Der Verschiebungssatz erleichtert beispielsweise die Berechnung der Stichprobenvarianz, wenn Messwerte fortlaufend anfallen. Es ist dann weder nötig, alle abzuspeichern (Speicher), noch nochmals alle Summanden durchzulaufen (Rechenzeit). Bei Verwendung dieser Formel mit begrenzter Rechengenauigkeit kann es jedoch zu einer numerischen Auslöschung kommen, wenn erheblich größer ist als die Varianz.

Erläuterung am Fall einer endlichen Folge von Zahlen: Das Stichprobenmittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Verschiebungssatz wird zunächst am einfachsten Fall vorgeführt: Es ist eine Folge von reellen Zahlen xi gegeben, beispielsweise eine Stichprobe. Es wird die Summe Q der quadratischen Abweichungen der Einzelwerte xi vom arithmetischen Mittel dieser Werte gebildet:

wobei

das arithmetische Mittel der Zahlen ist.

Der Verschiebungssatz ergibt sich aus

.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Rahmen der Qualitätssicherung werden fortlaufend Kaffeepäckchen gewogen. Für die ersten vier Päckchen erhielt man die Werte (in g) xi

Das durchschnittliche Gewicht beträgt

Es ist

Für die Anwendung des Verschiebungssatzes berechnet man

und

Man kann damit beispielsweise die korrigierte Stichprobenvarianz bestimmen:

im Beispiel

Kommt nun ein weiteres Päckchen in die Stichprobe, so reicht es zur Neuberechnung der Stichprobenvarianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes, lediglich die Werte für und neu zu berechnen. Beim fünften Päckchen werde das Gewicht 510 g gemessen. Dann gilt:

sowie

Die Stichprobenvarianz der neuen, größeren Stichprobe ist dann

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zufallsvariable[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz einer Zufallsvariablen

lässt sich mit dem Verschiebungssatz auch angeben als

Dieses Resultat wird auch als Satz von König-Huygens bezeichnet. Es ergibt sich aus der Linearität des Erwartungswertes:

  • Man erhält bei einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Ausprägungen und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit dann für
Mit der speziellen Wahl ergibt sich und die obige Formel
  • Für eine stetige Zufallsvariable und der dazugehörigen Dichtefunktion ist
Man erhält hier mit dem Verschiebungssatz

Kovarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen und

lässt sich mit dem Verschiebungssatz als

angeben.

Für diskrete Zufallsvariablen erhält man für

entsprechend zu oben

mit als gemeinsamer Wahrscheinlichkeit, dass und ist.

Bei stetigen Zufallsvariablen ergibt sich mit als gemeinsamer Dichtefunktion von und an der Stelle und für die Kovarianz

entsprechend zu oben

Stichprobenkovarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Stichproben-Kovarianz zweier Merkmale x und y benötigt man

Hier ergibt der Verschiebungssatz

Die korrigierte Stichprobenkovarianz berechnet sich dann als