Vielfach-Zetafunktion

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In der Mathematik sind Vielfach-Zetafunktionen (engl.: multiple zeta functions) eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion, definiert durch

Obige Reihe konvergiert wenn Re(s1)+...+Re(si) > i für alle i, sie kann (analog zur Riemannschen Zeta-Funktion) durch analytische Fortsetzung als meromorphe Funktion auf definiert werden.

Die Werte für positive, ganzzahlige s1, ..., sk mit s1>1 werden als Multiple Zeta-Werte (engl.: multiple zeta values, MZVs) bezeichnet. Man nennt n=s1+ ...+ sk das "Gewicht" und k die "Länge" des Arguments.

Die Vielfach-Zetafunktionen wurden erstmals in der Korrespondenz zwischen Leonhard Euler und Christian Goldbach definiert. Euler bewies die Reduktionsformel für :

.

Zum Beispiel ist .

Allgemein kann man, wenn ungerade ist, die Zweifach-Zetafunktion als rationale Linearkombination von und mit darstellen.

Eine Vermutung von Alexander Goncharov besagte, dass die Perioden von über unverzweigten gemischten Tate-Motiven sich als -Linearkombinationen von Werten der Vielfachzetafunktion darstellen lassen.[1] Für den Spezialfall des durch den Modulraum von Kurven des Geschlechts 0 mit markierten Punkten und die relative Kohomologie definierten Tate-Motivs wurde dies zunächst von Francis Brown 2007 in seiner Dissertation bewiesen.[2] Die allgemeine Form von Goncharovs Vermutung bewies Brown dann in einer 2012 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Goncharov: Multiple polylogarithms and mixed Tate motives
  2. Brown: Multiple zeta values and periods of moduli spaces, Annales Scientifiques de l´ENS, Band 42, 2009, S. 371-489, Abstract
  3. Brown: Mixed Tate motives over Z

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Deligne: "Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points" (PDF; 4,4 MB) erklärt den Zusammenhang zwischen gemischten Tate-Motiven und Vielfach-Zetafunktionen.