Volumenintegral

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Ein Volumenintegral oder Dreifachintegral ist in der Mathematik ein Spezialfall der mehrdimensionalen Integralrechnung, der vor allem in der Physik Anwendung findet. Es handelt sich um ein Integral, bei dem eine Funktion dreimal hintereinander integriert wird, jeweils über eine Richtung eines dreidimensionalen Raumes. Dabei muss es sich jedoch nicht notwendigerweise um ein Volumen eines geometrischen Körpers handeln. Es existieren verschiedene Formen, diese Rechnung allgemein darzustellen:

Zur vereinfachten Darstellung wird oft nur ein einziges Integralzeichen geschrieben und die Volumenintegration lediglich durch das Volumenelement angedeutet:

Beachte, dass V hier in zwei Bedeutungen auftritt, einmal im Volumenelement und einmal als Bezeichner für das Volumen, über das integriert wird.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volumenintegrale finden bei vielen physikalischen Problemen Anwendung. So lassen sich aus allen Dichten bei einer Volumenintegration die jeweils zugrundeliegenden Größen berechnen, beispielsweise die elektrische Ladung aus der Ladungsdichte oder die Masse aus der (Massen-)Dichte. Auch der Gaußsche Integralsatz, der insbesondere in der Elektrodynamik wichtig ist, basiert auf einem Volumenintegral. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Geschwindigkeitsbetrags bei der Maxwell-Boltzmann-Verteilung ergibt sich durch Volumenintegration über die Verteilung der einzelnen Richtungen des Geschwindigkeitsvektors – dies ist ein Beispiel für ein Volumenintegral über ein nicht-geometrisches Volumen.

Verwendet man als Integrand die Funktion, die auf dem Integrationvolumen konstant gleich 1 ist, so erhält man eine Formel das Volumentmaß

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele für den Umgang mit Volumenintegralen finden sich hier:

Weiterführendes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 6. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2006, ISBN 978-3-8171-2006-2.