Kugelkoordinaten

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In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben. Bei Punkten auf einer Kugeloberfläche (Sphäre) ist der Abstand vom Ursprung (Kugelmittelpunkt) konstant. Die Zahl der Variablen reduziert sich auf die beiden Winkel, die als sphärische Koordinaten bezeichnet werden. Der Begriff „Kugelkoordinaten“ kann als Oberbegriff für den allgemeinen Fall und die sphärischen Koordinaten angesehen werden.

Kugelkoordinaten bilden neben den Zylinderkoordinaten eine Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen euklidischen Raum. Sie lassen sich auch auf Räume beliebiger endlicher Dimension verallgemeinern.

Übliche Konvention[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kugelkoordinaten eines Punktes und kartesisches Koordinatensystem

Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl

  • eines Zentrums (Ursprung),
  • einer gerichteten Gerade durch das Zentrum (Polachse), die die Polrichtung (oder Zenitrichtung) angibt, und durch diese festgelegt die Äquatorebene, die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verläuft, und
  • einer Bezugsrichtung in der Äquatorebene.

Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewählt, die z-Achse als Polachse (und damit die x-y-Ebene als Äquatorebene) und die x-Achse als Bezugsrichtung.

In der Version der Kugelkoordinaten, die in der Mathematik und in der Physik üblich ist, wird ein Punkt durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt:

  • , der Radius, ist der Abstand des Punktes von , hiermit wird die Kugeloberfläche festgelegt, auf der sich befindet.
  • oder , [1] der Polarwinkel oder Poldistanzwinkel[2], ist der Winkel zwischen der Polrichtung und der Strecke , gezählt von bis (0° bis 180°), hierdurch wird der Ort des Punktes auf eine Kreislinie der Kugeloberfläche festgelegt.
  • oder ,[1] der Azimutwinkel,[2] ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke , gezählt von bis (−180° bis 180°) oder von 0 bis (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn. Hierdurch wird der Ort des Punktes auf der Kreislinie eindeutig definiert.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Punkt mit den Kugelkoordinaten . Die beiden Winkelgrößen und werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet.

Umrechnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mathematisch gesprochen, wird jedem Koordinatentripel ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet (Parametrisierung). Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben, so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden:

Bei diesen Gleichungen können für , und beliebige Zahlenwerte eingesetzt werden. Um zu erreichen, dass die Kugelkoordinaten eindeutig bestimmt sind, muss man den Wertebereich der Koordinaten einschränken. Üblicherweise wird der Radius auf nichtnegative Werte beschränkt, der Winkel auf das Intervall bzw. [0, 180°] und der Winkel entweder auf das Intervall bzw. (-180°, 180°] oder das Intervall bzw. [0, 360°). Auch dann gibt es ausgeartete Punkte, für die die Winkelkoordinaten nicht eindeutig sind. Für Punkte auf der z-Achse ist der Winkel nicht festgelegt, also beliebig. Für den Ursprung ist auch beliebig. Um Eindeutigkeit zu erreichen, kann man für diese Punkte festlegen und für den Ursprung zusätzlich .

Für die anderen Punkte lassen sich die Kugelkoordinaten aus den kartesischen Koordinaten durch die folgenden Gleichungen berechnen:[3]

Die angegebenen Gleichungen für den Winkel gelten, wenn zwischen und gewählt wird. Wählt man zwischen 0 und , so sind sie geeignet zu modifizieren.

In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten-Winkel meist im Bogenmaß angegeben.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kugelkoordinaten werden oft bei der Untersuchung von Systemen verwendet, die rotationssymmetrisch bezüglich eines Punktes sind. Beispiele sind: Volumenintegrale über Kugeln, die Beschreibung und Untersuchung rotationssymmetrischer Kraftfelder, wie z. B. das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Himmelskörper, das elektrische Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel. Die betrachteten Größen hängen dann nicht von den Winkelkoordinaten ab, was viele Formeln vereinfacht. Wichtige partielle Differentialgleichungen wie die Laplace-Gleichung oder die Helmholtzgleichung können in Kugelkoordinaten durch Separation der Variablen gelöst werden.

Andere Konventionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen θ und φ gerade im umgekehrten Sinne verwendet, insbesondere in amerikanischer Literatur.

Der Polarwinkel θ ist nicht die geographische Breite. Diese ist vielmehr als Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor definiert und nimmt Werte zwischen −90° und 90° an. Wird sie mit φ bezeichnet, so ist φ = 90° − θ, θ = 90° − φ. Hingegen kann man das oben benutzte φ ohne weiteres mit der geographischen Länge λ östlich von Greenwich gleichsetzen. Siehe dazu den Artikel: geographische Koordinaten.

Des Weiteren ist die obige Konstruktion in gewisser Hinsicht inkonsistent zum Aufbau der ebenen Polarkoordinaten. Für manche Probleme ist es praktischer, die Darstellung

zu benutzen. In dieser Darstellung entspricht der geographischen Breite.

Die Rücktransformation des Punktes bzw. Vektors in die Winkelbestandteile erfolgt dann mit:

wobei .

Transformation von Differentialen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jacobi-Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrix beschrieben. Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese

bei sphärischen Polarkoordinaten (nur ) fällt die erste Spalte weg.

Die zugehörige Funktionaldeterminante lautet:

Die Jacobi-Matrix der entgegengesetzten Transformation ist nur für räumliche, nicht für sphärische Polarkoordinaten definiert; man berechnet sie am einfachsten als Inverse von :

Einige Komponenten dieser Matrix sind Brüche, an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei und bei (also oder ) erkennt. Ungebräuchlicher ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten:

Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialen übersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben:

beziehungsweise

.

Das Volumenelement lässt sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante

umrechnen:

.

Durch Differentiation dV/dr erhält man für das Flächenelement dA auf einer Sphäre mit Radius r

.

Das Linienelement ds errechnet man gemäß

Metrik und Rotationsmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement ds spiegelt sich wider, dass der metrische Tensor

auch in Kugelkoordinaten keine Außerdiagonalelemente hat.

Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix

.

Mit Hilfe dieser Matrix lässt sich die Jacobi-Matrix als J=Sh schreiben, wobei S die Rotationsmatrix

ist.

Transformation von Vektorfeldern und -Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kugelkoordinaten mit zugehöriger vom Ort abhängigen Orthogonalbasis

Im Folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch dargestellt werden. Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben. Die allermeisten Aussagen und Formeln gelten nur für Punkte außerhalb der z-Achse, für die die Jacobi-Determinante ungleich null ist.

Transformation der Vektorraumbasis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Basisvektor eφ zur Koordinate φ gibt an, in welche Richtung sich ein Punkt P(r, θ, φ) bewegt, wenn die Koordinate φ um einen infinitesimalen Betrag dφ verändert wird:

.

Daraus erhält man

.

Um eine orthonormale Basis zu erhalten, muss eφ noch auf die Länge 1 normiert werden:

.

Auf gleiche Weise erhält man die Basisvektoren er und eθ:

Als Spaltenvektoren geschrieben:

Diese Basisvektoren bilden in der Reihenfolge ein Rechtssystem.

Die zugehörigen Richtungen werden auch radial, meridional und azimutal genannt. Diese Begriffe spielen nicht nur in der Astronomie und den Geowissenschaften (z.B. Geographie, Geologie oder Geophysik) eine zentrale Rolle, sondern auch in Mathematik, Physik und verschiedenen Ingenieurwissenschaften, etwa bei der Ausstrahlung von elektromagnetischen Wellen („Hertzscher Dipol“) durch eine in z-Richtung aufgespannte Antenne, wo die Ausstrahlung in radialer Richtung erfolgt, während elektrisches bzw. magnetisches Feld in meridionaler bzw. azimutaler Richtung schwingen.

Mithilfe der oben eingeführten Rotationsmatrix lassen sich die Transformationen auch kompakt darstellen:

.

In die Gegenrichtung lauten die Gleichungen dann:

.

(Dabei wird verwendet, dass orthogonal ist und deshalb .)

Transformation eines Vektorfeldes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Vektor, als ein geometrisches Objekt, muss vom Koordinatensystem unabhängig sein:

Diese Bedingung wird erfüllt durch

  beziehungsweise   .

Transformation der partiellen Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren, aber ohne Normierung. Man kann genau wie oben rechnen, nur lässt man den Punkt P im Zähler weg (tatsächlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Koordinatenbasisvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt) und verwendet die Jacobi-Matrix J=Sh anstelle der Rotationsmatrix S. Die Transformation lautet also:

,

und in die Gegenrichtung

.

Transformation des Nabla-Operators[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Nabla-Operator hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form

.

Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren. Man findet:

.

In dieser Form kann der transformierte Nabla-Operator unmittelbar angewandt werden, um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen.

Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist hingegen zu berücksichtigen, dass nicht nur auf die Koeffizienten wirkt, sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren

Um die Rotation eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist dasselbe zu berücksichtigen:

Transformation des Laplace-Operators[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator einsetzt, findet man den Laplace-Operator

.

bzw.

.

Verallgemeinerung auf n-dimensionale Kugelkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung der Kugelkoordinaten auf Dimensionen:

Die Winkel entwickeln sich nach:

Durch Umnummerierung erhält man eine Rekursionsformel für die Winkel:

Woraus sich die folgenden Winkel ergeben:

mit und

Der Radius ist:

Eine Fallunterscheidung liefert mittels Arkustangens den passenden Winkel zur gegebenen kartesischen Koordinate, wobei :

Dabei fällt auf, dass immer ein zweidimensionaler Vektor ist für .

Jacobi-Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Jacobi-Matrix der Kugelkoordinaten lautet bezüglich der als oberes gegebenen Nummerierung:

Ihre Determinante beträgt:

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuordnung am Beispiel mit den geläufigen Koordinatenachsen :

Die Winkel sind dann:

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.
  2. a b Skript (PDF; 59 kB) an der TU München
  3. Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart. Autoren: App/Höllig