Wachstum (Gruppentheorie)

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Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente, die sich als Produkte der Länge aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen.

Wachstum von Graphen

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Es sei ein Graph und ein fest gewählter Knoten.

Für sei die Anzahl der Knoten , für die es einen Weg aus maximal Kanten von nach gibt.

Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge .

Wachstum von Gruppen

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Es sei eine endlich erzeugte Gruppe und ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für .

Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist , so lässt sich jedes Gruppenelement als Wort schreiben, wobei , die Indizes Elemente von und die Exponenten beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes sei die Anzahl der Elemente von , die eine solche Schreibung mit besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge .

Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen , jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

  • J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.

Einzelnachweise

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  1. M. Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
  2. B. Kleiner: A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 3, 815–829.
  3. R. I. Grigortschuk: Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. (Russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 5, 939–985.
  4. J. Milnor: A note on curvature and fundamental group. J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7.