Winkelhalbierendensatz (Dreieck)

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Der Winkelhalbierendensatz ist eine Aussage der Elementargeometrie. Sie besagt, dass die Winkelhalbierende in einem Dreieck die dem Winkel gegenüberliegenden Seite im Verhältnis der beiden am Winkel anliegenden Seiten teilt.

Satz und Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Dreieck sei ein Punkt auf der Seite . Die Strecke teilt den Winkel in die Winkel und . Diese beiden Winkel sind genau dann gleich groß, das heißt ist genau dann die Winkelhalbierende des Winkels , wenn für die Streckenverhältnisse gilt:[1]

.

Diese Aussage lässt sich auch auf Strecken verallgemeinern, die den Winkel in einem beliebigen Verhältnis teilen. Es gilt dann die folgende Verhältnisgleichung:[2]

.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Winkelhalbierendensatz findet sich bereits bei Euklid in den Elementen im Buch VI als Proposition 3.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 9783827430250, S. 161
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 9783662454619, S. 66

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 9783662454619, S. 66
  2. Titu Andreescu, Zuming Feng: 103 Trigonometry Problems: From the Training of the USA IMO Team. Springer, 2006, S. 19
  3. , Buch VI, Proposition 3.