Winkelhalbierendensatz (Dreieck)

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Der Winkelhalbierendensatz ist eine Aussage der Elementargeometrie. Sie besagt, dass die Winkelhalbierende in einem Dreieck die dem Winkel gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden am Winkel anliegenden Seiten teilt.

Satz und Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Dreieck sei ein Punkt auf der Seite . Die Strecke teilt den Winkel in die Winkel und . Sind diese beiden Winkel gleich groß, das heißt ist die Winkelhalbierende des Winkels , dann gilt für die Streckenverhältnisse:[1]

.

Diese Aussage lässt sich auch auf Strecken verallgemeinern, die den Winkel in einem beliebigen Verhältnis teilen. Es gilt dann die folgende Verhältnisgleichung:[2]

.

Es gilt auch die Umkehrung des Winkelhalbierendensatzes. Das heißt, ist ein Punkt auf der Seite eines Dreiecks und es gilt das Streckenverhältnis , dann ist die Winkelhalbierende des Winkels in .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Skizze zum Beweis

Ein einfacher Beweis der verallgemeinerten Aussage ergibt sich, indem der Quotient der Flächen der beiden durch die Winkelhalbierenden entstandenen Teildreiecke auf zwei unterschiedliche Arten berechnet wird. Auf die erste Art ergeben sich die Dreiecksflächen nach der Formel mit Grundseite und zugehöriger Höhe , auf die zweite Art nach der Formel mit den beiden Seiten , und dem davon eingeschlossenen Winkel .

Damit erhält man nun

und

also gilt

Zu einem Beweis mit baryzentrischen Koordinaten: siehe hier.

Außenwinkelhalbierenden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Außenwinkelhablierenden (rot gestrichelt):
Die 3 Schnittpunkte D, E, F liegen auf einer Geraden (rot) und es gelten die folgenden Streckenverhältnisse:
, ,

Sofern es nicht um ein gleichseitiges Dreieck handelt, existieren für die Außenwinkelhalbierenden eines Dreiecks ebenfalls Verhältnisgleichungen, die die Dreiecksseiten beinhalten. Genauer gilt für ein nicht-gleichseitiges Dreieck das Folgende. Schneidet die Außenwinkelhalbierende in , die Verlängerung der Seite in , die Außenwinkelhalbierende in die Verlängerung der Seite in und die Außenwinkelhalbierende in die Verlängerung der Seite in , dann gilt[3]:

, und

Darüber hinaus liegen die Punkte , und auf einer gemeinsamen Geraden.[4]

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Winkelhalbierendensatz findet sich bereits bei Euklid in den Elementen im Buch VI als Proposition 3.[5]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 161
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 66

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 66
  2. Titu Andreescu, Zuming Feng: 103 Trigonometry Problems: From the Training of the USA IMO Team. Springer, 2006, S. 19
  3. Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, ISBN 9781930190856, S. 3-4
  4. Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 149 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
  5. Isaac Todhunter: The Elements of Euclid, Buch VI, Proposition 3.