Bierdeckelgeometrie

Bierdeckelgeometrie ist der populäre Name für das Beltrami-Kleinsche Modell der hyperbolischen Geometrie. Es handelt sich um eines der Standardbeispiele einer nicht-euklidischen Geometrie, welches auf die beiden Mathematiker Eugenio Beltrami (1835 - 1900) und Felix Klein (1849 - 1925) zurückgeht.

Die Bierdeckelgeometrie hat folgende Strukturelemente:

• Die zugrundeliegende Punktmenge ist die Menge der inneren Punkte einer Kreisscheibe der Euklidischen Ebene.
• Die zugrundeliegende Geradenmenge besteht aus allen innerhalb der offenen Kreisscheibe gelegenen Sehnen.

Man kann zeigen, dass die Bierdeckelgeometrie und das Poincarésche Scheibenmodell isomorph sind.

Zur Bedeutung der Bierdeckelgeometrie

Godehard Link schreibt dazu:

<<... Nicht-euklidische Geometrien sind genau von dieser Art: sie sind Modelle der Kernaxiome, die zugleich das Parallelenaxiom falsch machen. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurden solche Geometrien gefunden. Sie beruhen auf einer radikalen Uminterpretation der anschaulichen Bedeutung geometrischer Begriffe. Dennoch kann man sich auch diese Geometrien veranschaulichen, indem man ihre Axiome mit Hilfe der derart umgedeuteten Begriffe in der klassischen ebenen Geometrie darstellt. Wiederum modern gesprochen, interpretiert man die nicht-euklidische Geometrie in der euklidischen Geometrie. ...

Im Fall der Geometrie kann man das Verfahren der Interpretation etwa durch das sogenannte Kleinsche Modell der hyperbolischen Geometrie innerhalb einer euklidischen Ebene illustrieren ... >>

Literatur

• David Hilbert und Stephan Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1996, ISBN 3-540-59069-2. 
• Felix Klein: Über die sogenannte nicht-euklidische Geometrie. In: Math. Ann. Band 4, 1871, S. 573–625. 
• Horst Knörrer: Geometrie. 2., aktualisierte Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0210-1. 
• Georg Nöbeling: Einführung in die nichteuklidischen Geometrien der Ebene. Verlag Walter de Gruyter, Berlin 1976, ISBN 3-11-002001-7. 
• Collegium Logicum online von Prof. Godehard Link, Universität München, April 2009