Konvergenzkriterium von Pringsheim

Die Konvergenzkriterium von Pringsheim oder auch Hauptkriterium von Pringsheim ist ein Kriterium über das Konvergenzverhalten von Kettenbrüchen. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim und gehört zu den klassischen Lehrsätzen der Kettenbruchlehre innerhalb der Analytischen Zahlentheorie. In der englischsprachigen Fachliteratur wird das Kriterium auch unter dem Namen Śleszyński-Pringsheim's theorem (u. ä.) geführt, wobei der vordere Name auf den polnisch-russischen Mathematiker Ivan Śleszyński (1854 – 1931) verweist, welcher dieses Kriterium ebenfalls und schon vor Pringsheim gefunden hatte. Es gibt Hinweise darauf, dass Alfred Pringsheim die entsprechende Veröffentlichung von Ivan Śleszyński möglicherweise kannte, als er seine Veröffentlichung im Jahre 1898 machte. Anzufügen ist hier der Hinweis von Oskar Perron im Band II seiner Lehre von den Kettenbrüchen, dass der wesentliche Inhalt des Kriteriums auch schon in dem Lehrbuch der algebraischen Analysis von Moritz Abraham Stern (Leipzig 1860) zu finden ist.

Formulierung der Kriteriums

(I)

Für zwei Zahlenfolgen komplexer Zahlen   $(a_{i})_{i=0,1,2,\dots }$   und   $(b_{i})_{i=0,1,2,\dots }$   mit der Eigenschaft, dass die Ungleichungen

$|b_{i}|\geq |a_{i}|+1$   $(i=1,2,3\dots )$

erfüllt sind, ist der zugehörige Kettenbruch

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$

stets konvergent. Das bedeutet:

Die Folge der Näherungsbrüche

$f_{n}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{\ddots +{\cfrac {a_{n}}{b_{n}}}}}}}}}$   $(n=1,2,3,\dots )$

ist eine konvergente Folge und der durch sie eindeutig bestimmte Grenzwert $f\in \mathbb {C}$ mit

  $f=\lim _{n\to \infty }f_{n}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$  .

ist der Wert des zugehörigen Kettenbruchs.

(II)

Im Falle, dass die oben genannte Bedingung erfüllt ist, gilt stets

$|f_{n}|<1$   $(n=1,2,3\dots )$   und damit   $|f|\leq 1$.

(III)

Der Grenzfall   $|f|=1$   liegt dann und nur dann vor, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(IIIa)   $|b_{i}|={|a_{i}|+1}$   $(i=1,2,3\dots )$

(IIIb)   Alle   ${\frac {a_{i+1}}{{b_{i}}\cdot {b_{i+1}}}}$   $(i=1,2,3\dots )$ sind negative reelle Zahlen.

(IIIc) Die Reihe   ${\sum _{i=1}^{\infty }{|a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{i}|}}$   ist divergent.

In diesem Grenzfall hat der Kettenbruch den Wert  $f={\frac {a_{1}\cdot |b_{1}|}{|a_{1}|\cdot b_{1}}}$

Literatur

• Lisa Lorentzen - Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (= Studies in computational mathematics. Band 3). North-Holland, Amsterdam [u. a.] 1992, ISBN 0-444-89265-6. 
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen - Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. Reprografischer Nachdruck der dritten, verbesserten und durchgesehenen Auflage, Stuttgart 1957. 4. durchgesehene und ergänzte Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X. 
• Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschafftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324.  [1]
• W. J. Thron: Should the Pringsheim criterion be renamed the Śleszyński criterion? In: Comm. Anal. Theory Contin. Fractions. Band 1, 1992, S. 13–20.  MR1192192