„1/f²-Rauschen“ – Versionsunterschied
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Wdwd (Diskussion | Beiträge) Überarbeitung, Leistungsdichtespektrum, math. Ableitung aus weissen Rauschen, Siehe-Auch in Fliesstext |
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'''1/f²-Rauschen''' (auch „Brownsches-“, „Brown-“ oder „Rotes Rauschen“ genannt) bezeichnet ein [[Rauschen (Physik)|Rauschen]] mit einem [[Amplitude]]nverlauf umgekehrt proportional zum [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrat]] der Frequenz (~ 1/f²). Die [[Rauschleistungsdichte]] sinkt dabei um 6 [[Dezibel|dB]] je [[Oktave (Hilfsmaßeinheit)|Oktave]]. |
'''1/f²-Rauschen''' (auch „Brownsches-“, „Brown-“ oder „Rotes Rauschen“ genannt) bezeichnet ein [[Rauschen (Physik)|Rauschen]] mit einem [[Amplitude]]nverlauf umgekehrt proportional zum [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrat]] der Frequenz (~ 1/f²). Die [[Rauschleistungsdichte]] sinkt dabei um 6 [[Dezibel|dB]] je [[Oktave (Hilfsmaßeinheit)|Oktave]] bzw. 20 dB pro Dekade. Das ähnliche [[1/f-Rauschen]] weist einen Abfall der Rauschleistungsdichte von 3 dB je Oktave bzw. 10 dB pro Dekade auf. |
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Die Bezeichnungen ''Brown'' und ''Brownsches'' für 1/f²-Rauschen beziehen sich auf den schottischen Botaniker und Namensgeber der [[Brownsche Molekularbewegung|Brownschen Molekularbewegung]], [[Robert Brown (britischer Botaniker)|Robert Brown]], nicht auf die Farbe „braun“. Die Brownsche Molekularbewegung entspricht zum Beispiel einem 1/f²-Rauschen. |
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== Leistungsdichtespektrum == |
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[[Datei:Brown noise spectrum. |
[[Datei:Brown noise spectrum.svg|thumb|Leistungsdichtespektrum von 1/f²-Rauschen]] |
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[[Datei:Brownnoise.ogg|thumb|Hörbeispiel von 1/f²-Rauschen.]] |
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Die [[Brownsche Molekularbewegung]] entspricht zum Beispiel einem ''1/f²-Rauschen''. |
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Die Brownsche Molekularbewegung kann als [[stochastischer Prozess]] <math>W(t)</math> im Rahmen des [[Wiener-Prozess]] als das Integral vom [[Weißes Rauschen|weißen Rauschen]] <math>dW(t)</math> beschrieben werden: |
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:<math>W(t) = \int _{0}^{t} dW(s) </math> |
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''1/f²-Rauschen'' kann visualisiert werden, indem eine [[Diskrete Mathematik|diskret]]e [[zweidimensional]]e [[Komplexe Zahl|komplex]]e Funktion mit bi[[Hyperbel (Mathematik)|hyperbolisch]] abfallender [[Amplitude]] und [[Zufall|zufälliger]] [[Phase (Schwingung)|Phase]] invers [[Fourier-Transformation|fourier-transformiert]] wird. Der Betrag der komplexwertigen Fourier-Rücktransformierten kann sowohl einfarbig (Graustufen) als auch getrennt für die drei Farbkanäle als [[RGB-Signal]] ausgegeben werden. |
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Weißes Rauschen weist eine konstante Leistungsdichte auf: |
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''1/f²-Rauschen'' kann theoretisch hörbar gemacht werden, indem eine [[Diskrete Mathematik|diskret]]e [[eindimensional]]e [[Komplexe Zahl|komplex]]e Funktion mit einer mit bi[[Hyperbel (Mathematik)|hyperbolisch]] abfallenden [[Amplitude]] und [[Zufall|zufälliger]] [[Phase (Schwingung)|Phase]] invers [[Fourier-Transformation|fourier-transformiert]] wird. Allerdings ist der Frequenzanteil auf sehr niederfrequente Signale beschränkt, so dass der [[Infraschall]] für den Menschen nicht hörbar ist. Der Betrag der komplexwertigen Fourier-Transformierten kann sowohl [[Monophonie (Elektroakustik)|monophon]] als auch [[Stereophonie|stereophon]] wiedergegeben werden. |
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:<math> S_0 = \left|\mathcal{F}\left[\frac{dW(t)}{dt}\right](\omega)\right|^2 = \text{konstant} </math> |
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|'''Zweidimensionale,<br>farbige Rauschsignale''' |
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|[[Datei:Red.noise.col.png|200px|Zweidimensionale, farbige Rauschsignale]] |
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|'''Zweidimensionale,<br>graustufige Rauschsignale''' |
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|[[Datei:Red.noise.b.w.png|200px|Zweidimensionale, graustufige Rauschsignale]] |
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|'''Hörbeispiele, mono''' |
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|[[Datei:Red.Noise.ogg|Beispiel]]<br><small>Unhörbar, da [[Infraschall]] |
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Achtung: bei Lautsprechern mit sehr tieffrequentem Wiedergabebereich führt das 2. Hörbeispiel zu sehr großen Amplituden, was zu permanenten Beschädigungen führen kann.</small> |
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<br/><br/>[[File:Red.noise.ogg|Beispiel]] |
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mit der [[Fouriertransformation]] <math>\mathcal{F}</math>. Eine Eigenschaft der Fouriertransformation ist, dass sich die auftretende Ableitung als Produkt ausdrücken lässt als:<ref>{{ cite journal|title=A statistical model of flicker noise|author=Barnes, J.A. and Allan, D.W. |journal=Proceedings of the IEEE| volume= 54 | issue= 2 |year= 1966| page= 176– 178}} and references therein</ref> |
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== Siehe auch == |
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* [[1/f-Rauschen|Rosa Rauschen (1/f Rauschen)]] |
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:<math> \mathcal{F}\left[\frac{dW(t)}{dt}\right](\omega) = \mathrm{j} \omega \mathcal{F}[W(t)](\omega) </math> |
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* [[Akustik]] |
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* [[Statistik]] |
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mit <math>\mathrm{j}</math> als die [[imaginäre Einheit]] und der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math>. |
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* [[Weißes Rauschen]] |
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Daraus ergibt sich das Betrag des Leistungsdichtespektrums für 1/f²-Rauschen aus dem konstanten Betragsleistungsdichtespektrum <math> S_0</math> für weißes Rauschen zu: |
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:<math> S(\omega)= \left|\mathcal{F}[W(t)](\omega)\right|^2= \frac{S_0}{\omega^2} </math> |
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Anschaulich kann 1/f²-Rauschen durch Filterung von weissen Rauschen mit einem [[Tiefpassfilter]] zweiter Ordnung mit einer Grenzfrequenz von 0 Hz erzeugt werden. |
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''1/f²-Rauschen'' kann auch hörbar gemacht werden, allerdings ist der Frequenzanteil durch den starken Abfall des leistungsdichtespektrums von 20 dB pro Dekade auf niederfrequente Signale beschränkt, so dass primär für den Menschen nicht wahrnehmbarer [[Infraschall]] auftritt. |
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== Literatur == |
== Literatur == |
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*{{Literatur |
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* Michael Dickreiter, Volker Dittel, Wolfgang Hoeg, Martin Wöhr: ''Handbuch der Tonstudiotechnik.'' 2 Bände. Herausgegeben von der ARD.ZDF medienakademie. 7., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Saur, München 2008, ISBN 978-3-598-11765-7. |
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|Autor = Rudolf Müller |
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|Titel = Rauschen |
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* Hubert Henle: ''Das Tonstudio Handbuch. Praktische Einführung in die professionelle Aufnahmetechnik.'' 5., komplett überarbeitete Auflage. Carstensen, München 2001, ISBN 3-910098-19-3. |
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|Verlag = Springer | Auflage = 1. | Jahr = 1979 | ISBN = 3-540-09379-6 }} |
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*{{Literatur |
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|Autor = Michael Dickreiter, Volker Dittel, Wolfgang Hoeg, Martin Wöhr |
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|Titel = Handbuch der Tonstudiotechnik, 2 Bände |
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|Herausgeber = ARD.ZDF medienakademie | Auflage = 7. | Verlag = Saur | Ort = München | Jahr = 2008 | ISBN = 978-3-598-11765-7 }} |
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*{{Literatur |
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|Autor = Thomas Görne |
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|Titel = Tontechnik |
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== Einzelnachweise == |
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<references/> |
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{{DEFAULTSORT:1f2-Rauschen}} |
{{DEFAULTSORT:1f2-Rauschen}} |
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Version vom 31. Dezember 2013, 13:54 Uhr
1/f²-Rauschen (auch „Brownsches-“, „Brown-“ oder „Rotes Rauschen“ genannt) bezeichnet ein Rauschen mit einem Amplitudenverlauf umgekehrt proportional zum Quadrat der Frequenz (~ 1/f²). Die Rauschleistungsdichte sinkt dabei um 6 dB je Oktave bzw. 20 dB pro Dekade. Das ähnliche 1/f-Rauschen weist einen Abfall der Rauschleistungsdichte von 3 dB je Oktave bzw. 10 dB pro Dekade auf.
Die Bezeichnungen Brown und Brownsches für 1/f²-Rauschen beziehen sich auf den schottischen Botaniker und Namensgeber der Brownschen Molekularbewegung, Robert Brown, nicht auf die Farbe „braun“. Die Brownsche Molekularbewegung entspricht zum Beispiel einem 1/f²-Rauschen.
Leistungsdichtespektrum
Die Brownsche Molekularbewegung kann als stochastischer Prozess im Rahmen des Wiener-Prozess als das Integral vom weißen Rauschen beschrieben werden:
Weißes Rauschen weist eine konstante Leistungsdichte auf:
\right|^{2}={\text{konstant}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7c13e804516f2d2aa145a73139427271dac5a3)
mit der Fouriertransformation . Eine Eigenschaft der Fouriertransformation ist, dass sich die auftretende Ableitung als Produkt ausdrücken lässt als:[1]
=\mathrm {j} \omega {\mathcal {F}}[W(t)](\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7aaea243e79b6327a11ee93eb1a2e3b8d568f7)
mit als die imaginäre Einheit und der Kreisfrequenz .
Daraus ergibt sich das Betrag des Leistungsdichtespektrums für 1/f²-Rauschen aus dem konstanten Betragsleistungsdichtespektrum für weißes Rauschen zu:
\right|^{2}={\frac {S_{0}}{\omega ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fa7f9e43d13b92e3963ab57c2c070d243f4b0d)
Anschaulich kann 1/f²-Rauschen durch Filterung von weissen Rauschen mit einem Tiefpassfilter zweiter Ordnung mit einer Grenzfrequenz von 0 Hz erzeugt werden.
1/f²-Rauschen kann auch hörbar gemacht werden, allerdings ist der Frequenzanteil durch den starken Abfall des leistungsdichtespektrums von 20 dB pro Dekade auf niederfrequente Signale beschränkt, so dass primär für den Menschen nicht wahrnehmbarer Infraschall auftritt.
Literatur
- Rudolf Müller: Rauschen. 1. Auflage. Springer, 1979, ISBN 3-540-09379-6.
- Michael Dickreiter, Volker Dittel, Wolfgang Hoeg, Martin Wöhr: Handbuch der Tonstudiotechnik, 2 Bände. Hrsg.: ARD.ZDF medienakademie. 7. Auflage. Saur, München 2008, ISBN 978-3-598-11765-7.
- Thomas Görne: Tontechnik. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München 2006, ISBN 3-446-40198-9.
Einzelnachweise
- ↑ Barnes, J.A. and Allan, D.W.: A statistical model of flicker noise. In: Proceedings of the IEEE. 54. Jahrgang, Nr. 2, 1966, S. 176– 178. and references therein